Theorem bezoutlemsup 12146

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemsup	⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemsup

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
3		elrabi 2913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → 𝑤 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℤ)
5	4	zred 9439	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
7		breq1 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
8		breq1 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
10	9	elrab 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
11	10	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
13		breq1 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ 𝑤 ≤ 𝐷))
14	9, 13	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷)))
15		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
17		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
18		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
19	15, 16, 1, 17, 18	bezoutlemle 12145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
22	14, 20, 21	rspcdva 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
23	3, 22	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
24	12, 23	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ≤ 𝐷)
25	5, 6, 24	lensymd 8141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ¬ 𝐷 < 𝑤)
26	25	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤)
27	1	nn0zd 9437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		iddvds 11947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
30		breq1 4032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
31		breq1 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝐷 ∥ 𝐴))
32		breq1 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝐷 ∥ 𝐵))
33	31, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
34	30, 33	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))))
35	34, 17, 27	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
36	29, 35	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
38	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
40	33	elrab3 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
42	37, 41	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)})
43		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝑤 < 𝑢 ↔ 𝑤 < 𝐷))
44	43	rspcev 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
45	42, 44	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
46	45	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
47	46	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
48		lttri3 8099	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
49	48	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
50	49	eqsupti 7055	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷))
51	2, 26, 47, 50	mp3and 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷)
52	51	eqcomd 2199	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  {crab 2476   class class class wbr 4029  supcsup 7041  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  dfgcd3  12147