Theorem bezoutlemsup 12786

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemsup	⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemsup

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9621	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
3		elrabi 2979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → 𝑤 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℤ)
5	4	zred 9768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
7		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
8		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
9	7, 8	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
10	9	elrab 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
11	10	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
13		breq1 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ 𝑤 ≤ 𝐷))
14	9, 13	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷)))
15		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
17		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
18		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
19	15, 16, 1, 17, 18	bezoutlemle 12785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
22	14, 20, 21	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
23	3, 22	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
24	12, 23	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ≤ 𝐷)
25	5, 6, 24	lensymd 8448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ¬ 𝐷 < 𝑤)
26	25	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤)
27	1	nn0zd 9766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		iddvds 12571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
30		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
31		breq1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝐷 ∥ 𝐴))
32		breq1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝐷 ∥ 𝐵))
33	31, 32	anbi12d 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
34	30, 33	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))))
35	34, 17, 27	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
36	29, 35	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
37	36	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
38	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
40	33	elrab3 2983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
42	37, 41	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)})
43		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝑤 < 𝑢 ↔ 𝑤 < 𝐷))
44	43	rspcev 2929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
45	42, 44	sylancom 424	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
46	45	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
47	46	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
48		lttri3 8405	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
49	48	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
50	49	eqsupti 7336	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷))
51	2, 26, 47, 50	mp3and 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷)
52	51	eqcomd 2244	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   class class class wbr 4130  supcsup 7322  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644   ∥ cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-q 10020  df-dvds 12555

This theorem is used by:  dfgcd3  12787