Theorem bezoutlemsup 12301

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemsup	⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemsup

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9348	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
3		elrabi 2925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → 𝑤 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℤ)
5	4	zred 9494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
7		breq1 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
8		breq1 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
10	9	elrab 2928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
11	10	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
13		breq1 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ 𝑤 ≤ 𝐷))
14	9, 13	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷)))
15		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
17		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
18		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
19	15, 16, 1, 17, 18	bezoutlemle 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
22	14, 20, 21	rspcdva 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
23	3, 22	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
24	12, 23	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ≤ 𝐷)
25	5, 6, 24	lensymd 8193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ¬ 𝐷 < 𝑤)
26	25	ralrimiva 2578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤)
27	1	nn0zd 9492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		iddvds 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
30		breq1 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
31		breq1 4046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝐷 ∥ 𝐴))
32		breq1 4046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝐷 ∥ 𝐵))
33	31, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
34	30, 33	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))))
35	34, 17, 27	rspcdva 2881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
36	29, 35	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
38	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
40	33	elrab3 2929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
42	37, 41	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)})
43		breq2 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝑤 < 𝑢 ↔ 𝑤 < 𝐷))
44	43	rspcev 2876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
45	42, 44	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
46	45	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
47	46	ralrimiva 2578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
48		lttri3 8151	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
49	48	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
50	49	eqsupti 7097	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷))
51	2, 26, 47, 50	mp3and 1352	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷)
52	51	eqcomd 2210	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∃wrex 2484  {crab 2487   class class class wbr 4043  supcsup 7083  ℝcr 7923  0cc0 7924   < clt 8106   ≤ cle 8107  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371   ∥ cdvds 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-q 9740  df-dvds 12070

This theorem is referenced by:  dfgcd3  12302