Theorem bezoutlemsup 12330

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemsup	⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemsup

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9349	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
3		elrabi 2926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → 𝑤 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℤ)
5	4	zred 9495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
7		breq1 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
8		breq1 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
10	9	elrab 2929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
11	10	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))
13		breq1 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ 𝑤 ≤ 𝐷))
14	9, 13	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷)))
15		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
17		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
18		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
19	15, 16, 1, 17, 18	bezoutlemle 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
22	14, 20, 21	rspcdva 2882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
23	3, 22	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐷))
24	12, 23	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → 𝑤 ≤ 𝐷)
25	5, 6, 24	lensymd 8194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}) → ¬ 𝐷 < 𝑤)
26	25	ralrimiva 2579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤)
27	1	nn0zd 9493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		iddvds 12115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
30		breq1 4047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
31		breq1 4047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝐷 ∥ 𝐴))
32		breq1 4047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝐷 ∥ 𝐵))
33	31, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
34	30, 33	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))))
35	34, 17, 27	rspcdva 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
36	29, 35	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵))
38	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
40	33	elrab3 2930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ↔ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ 𝐷 ∥ 𝐵)))
42	37, 41	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)})
43		breq2 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝑤 < 𝑢 ↔ 𝑤 < 𝐷))
44	43	rspcev 2877	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
45	42, 44	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)
46	45	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
47	46	ralrimiva 2579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢))
48		lttri3 8152	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
49	48	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
50	49	eqsupti 7098	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}𝑤 < 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷))
51	2, 26, 47, 50	mp3and 1353	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷)
52	51	eqcomd 2211	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485  {crab 2488   class class class wbr 4044  supcsup 7084  ℝcr 7924  0cc0 7925   < clt 8107   ≤ cle 8108  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372   ∥ cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-sup 7086  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  dfgcd3  12331