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Theorem seq3f1olemqsumk 10586
Description: Lemma for seq3f1o 10591. 𝑄 gives the same sum as 𝐽 in the range (𝐾...𝑁). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
iseqf1olemqres.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 iseqf1o.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3 iseqf1o.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 iseqf1o.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 iseqf1o.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
6 iseqf1o.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
10 iseqf1olemnk . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10585 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
1413adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
15 f1ocnv 5514 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
17 f1of 5501 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1918, 7ffvelcdmd 5695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
20 elfzelz 10094 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2221adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2322peano2zd 9445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℤ)
24 elfzel2 10092 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
257, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2625adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) < 𝑁)
28 zltp1le 9374 . . . . . . . 8 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2922, 26, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
3027, 29mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
31 eluz2 9601 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) ↔ (((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)))
337ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
348ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
35 elfzel1 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 elfzelz 10094 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑣 ∈ ℤ)
4039adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ ℤ)
4137, 38, 403jca 1179 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))
4236zred 9442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4421zred 9442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
45 peano2re 8157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽𝐾) ∈ ℝ → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4840zred 9442 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49 elfzelz 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5150zred 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
52 elfzle1 10096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀𝐾)
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
5542, 51, 44, 53, 54letrd 8145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≤ (𝐽𝐾))
5644lep1d 8952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
5742, 44, 46, 55, 56letrd 8145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
59 elfzle1 10096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
6143, 47, 48, 58, 60letrd 8145 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑣)
62 elfzle2 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑣𝑁)
6362adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣𝑁)
6461, 63jca 306 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑀𝑣𝑣𝑁))
65 elfz2 10084 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑣𝑣𝑁)))
6641, 64, 65sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10574 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑣) = if(𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑣 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑣 − 1))), (𝐽𝑣)))
6844ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
7048adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → 𝑣 ∈ ℝ)
7168ltp1d 8951 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) < ((𝐽𝐾) + 1))
7260adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8444 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) < 𝑣)
74 elfzle2 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝑣 ≤ (𝐽𝐾))
7574adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → 𝑣 ≤ (𝐽𝐾))
7670, 68, 75lensymd 8143 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ¬ (𝐽𝐾) < 𝑣)
7773, 76pm2.65da 662 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7877iffalsed 3568 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → if(𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑣 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑣 − 1))), (𝐽𝑣)) = (𝐽𝑣))
7967, 78eqtrd 2226 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑣) = (𝐽𝑣))
8079fveq2d 5559 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐺‘(𝑄𝑣)) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10580 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
826ralrimiva 2567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8382ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8483r19.21bi 2582 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝑄𝑣)))
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
8780, 85, 863eqtr4rd 2237 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝑄 / 𝑓𝑃𝑣))
8836ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
89 eluzelz 9604 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
9089adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
9142ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
9246ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
9390zred 9442 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9457ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
95 eluzle 9607 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑥)
9695adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑥)
9791, 92, 93, 94, 96letrd 8145 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀𝑥)
98 eluz2 9601 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1183 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1007adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
1018adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
1026adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10582 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
10499, 103syldan 282 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
106105adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
10799, 106syldan 282 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
1081adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10553 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
11014, 109oveq12d 5937 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)) = ((seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
1113adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
112 eluz2 9601 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐽𝐾)))
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1183 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
114113adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
115 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
1167adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
117 elfzuz 10090 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
118116, 117syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
119 uztrn 9612 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
120115, 118, 119syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10582 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
122120, 121syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
123122adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10562 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
125120, 105syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
126125adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10562 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
128110, 124, 1273eqtr4d 2236 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
12913adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
130 simpr 110 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (𝐽𝐾) = 𝑁)
131130fveq2d 5559 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
132130fveq2d 5559 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
133129, 131, 1323eqtr3d 2234 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
134 elfzle2 10097 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
13519, 134syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
136 zleloe 9367 . . . 4 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁)))
13721, 25, 136syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁)))
138135, 137mpbid 147 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁))
139128, 133, 138mpjaodan 799 1 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  wne 2364  wral 2472  csb 3081  ifcif 3558   class class class wbr 4030  cmpt 4091  ccnv 4659  wf 5251  1-1-ontowf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5919  cr 7873  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056  cle 8057  cmin 8192  cz 9320  cuz 9595  ...cfz 10077  ..^cfzo 10211  seqcseq 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10587
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