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Theorem seq3f1olemqsumk 10265
 Description: Lemma for seq3f1o 10270. 𝑄 gives the same sum as 𝐽 in the range (𝐾...𝑁). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
iseqf1olemqres.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 iseqf1o.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3 iseqf1o.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 iseqf1o.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 iseqf1o.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
6 iseqf1o.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
10 iseqf1olemnk . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10264 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
1413adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
15 f1ocnv 5373 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
17 f1of 5360 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1918, 7ffvelrnd 5549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
20 elfzelz 9799 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2221adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2322peano2zd 9169 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℤ)
24 elfzel2 9797 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
257, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2625adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) < 𝑁)
28 zltp1le 9101 . . . . . . . 8 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2922, 26, 28syl2anc 408 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
3027, 29mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
31 eluz2 9325 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) ↔ (((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1165 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)))
337ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
348ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
35 elfzel1 9798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3736ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 elfzelz 9799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑣 ∈ ℤ)
4039adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ ℤ)
4137, 38, 403jca 1161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))
4236zred 9166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4421zred 9166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
45 peano2re 7891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽𝐾) ∈ ℝ → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4840zred 9166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49 elfzelz 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5150zred 9166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
52 elfzle1 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀𝐾)
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
5542, 51, 44, 53, 54letrd 7879 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≤ (𝐽𝐾))
5644lep1d 8682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
5742, 44, 46, 55, 56letrd 7879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
5857ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
59 elfzle1 9800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
6059adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
6143, 47, 48, 58, 60letrd 7879 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑣)
62 elfzle2 9801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑣𝑁)
6362adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣𝑁)
6461, 63jca 304 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑀𝑣𝑣𝑁))
65 elfz2 9790 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑣𝑣𝑁)))
6641, 64, 65sylanbrc 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10253 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑣) = if(𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑣 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑣 − 1))), (𝐽𝑣)))
6844ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
7048adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → 𝑣 ∈ ℝ)
7168ltp1d 8681 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) < ((𝐽𝐾) + 1))
7260adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8178 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) < 𝑣)
74 elfzle2 9801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝑣 ≤ (𝐽𝐾))
7574adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → 𝑣 ≤ (𝐽𝐾))
7670, 68, 75lensymd 7877 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ¬ (𝐽𝐾) < 𝑣)
7773, 76pm2.65da 650 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7877iffalsed 3479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → if(𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑣 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑣 − 1))), (𝐽𝑣)) = (𝐽𝑣))
7967, 78eqtrd 2170 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑣) = (𝐽𝑣))
8079fveq2d 5418 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐺‘(𝑄𝑣)) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10259 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
826ralrimiva 2503 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8382ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8483r19.21bi 2518 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10263 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝑄𝑣)))
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10263 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
8780, 85, 863eqtr4rd 2181 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝑄 / 𝑓𝑃𝑣))
8836ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
89 eluzelz 9328 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
9089adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
9142ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
9246ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
9390zred 9166 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9457ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
95 eluzle 9331 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑥)
9695adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑥)
9791, 92, 93, 94, 96letrd 7879 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀𝑥)
98 eluz2 9325 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1165 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1007adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
1018adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
1026adantlr 468 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10261 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
10499, 103syldan 280 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10262 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
106105adantlr 468 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
10799, 106syldan 280 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
1081adantlr 468 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10237 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
11014, 109oveq12d 5785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)) = ((seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
1113adantlr 468 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
112 eluz2 9325 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐽𝐾)))
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1165 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
114113adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
115 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
1167adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
117 elfzuz 9795 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
118116, 117syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
119 uztrn 9335 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
120115, 118, 119syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10261 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
122120, 121syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
123122adantlr 468 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10245 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
125120, 105syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
126125adantlr 468 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10245 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
128110, 124, 1273eqtr4d 2180 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
12913adantr 274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
130 simpr 109 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (𝐽𝐾) = 𝑁)
131130fveq2d 5418 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
132130fveq2d 5418 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
133129, 131, 1323eqtr3d 2178 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
134 elfzle2 9801 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
13519, 134syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
136 zleloe 9094 . . . 4 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁)))
13721, 25, 136syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁)))
138135, 137mpbid 146 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁))
139128, 133, 138mpjaodan 787 1 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ∀wral 2414  ⦋csb 2998  ifcif 3469   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  ◡ccnv 4533  ⟶wf 5114  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℝcr 7612  1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319  ...cfz 9783  ..^cfzo 9912  seqcseq 10211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212 This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10266
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