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Theorem seq3f1olemqsumk 10444
Description: Lemma for seq3f1o 10449. 𝑄 gives the same sum as 𝐽 in the range (𝐾...𝑁). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
iseqf1olemqres.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 iseqf1o.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3 iseqf1o.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 iseqf1o.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 iseqf1o.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
6 iseqf1o.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
10 iseqf1olemnk . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10443 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
1413adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
15 f1ocnv 5453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
17 f1of 5440 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1918, 7ffvelrnd 5630 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
20 elfzelz 9970 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2221adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2322peano2zd 9326 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℤ)
24 elfzel2 9968 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
257, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2625adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) < 𝑁)
28 zltp1le 9255 . . . . . . . 8 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2922, 26, 28syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
3027, 29mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
31 eluz2 9482 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) ↔ (((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1176 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)))
337ad2antrr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
348ad2antrr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
35 elfzel1 9969 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3736ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 elfzelz 9970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑣 ∈ ℤ)
4039adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ ℤ)
4137, 38, 403jca 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))
4236zred 9323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4421zred 9323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
45 peano2re 8044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽𝐾) ∈ ℝ → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
4840zred 9323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49 elfzelz 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5150zred 9323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
52 elfzle1 9972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀𝐾)
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
5542, 51, 44, 53, 54letrd 8032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≤ (𝐽𝐾))
5644lep1d 8836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
5742, 44, 46, 55, 56letrd 8032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
5857ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
59 elfzle1 9972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
6059adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
6143, 47, 48, 58, 60letrd 8032 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑣)
62 elfzle2 9973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑣𝑁)
6362adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣𝑁)
6461, 63jca 304 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑀𝑣𝑣𝑁))
65 elfz2 9961 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑣𝑣𝑁)))
6641, 64, 65sylanbrc 415 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10432 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑣) = if(𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑣 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑣 − 1))), (𝐽𝑣)))
6844ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
7048adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → 𝑣 ∈ ℝ)
7168ltp1d 8835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) < ((𝐽𝐾) + 1))
7260adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑣)
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8331 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐾) < 𝑣)
74 elfzle2 9973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝑣 ≤ (𝐽𝐾))
7574adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → 𝑣 ≤ (𝐽𝐾))
7670, 68, 75lensymd 8030 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → ¬ (𝐽𝐾) < 𝑣)
7773, 76pm2.65da 656 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7877iffalsed 3535 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → if(𝑣 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑣 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑣 − 1))), (𝐽𝑣)) = (𝐽𝑣))
7967, 78eqtrd 2203 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑣) = (𝐽𝑣))
8079fveq2d 5498 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐺‘(𝑄𝑣)) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10438 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
826ralrimiva 2543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8382ad2antrr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8483r19.21bi 2558 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10442 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝑄𝑣)))
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10442 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
8780, 85, 863eqtr4rd 2214 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (((𝐽𝐾) + 1)...𝑁)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝑄 / 𝑓𝑃𝑣))
8836ad2antrr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
89 eluzelz 9485 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
9089adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
9142ad2antrr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
9246ad2antrr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → ((𝐽𝐾) + 1) ∈ ℝ)
9390zred 9323 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9457ad2antrr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀 ≤ ((𝐽𝐾) + 1))
95 eluzle 9488 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1)) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑥)
9695adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → ((𝐽𝐾) + 1) ≤ 𝑥)
9791, 92, 93, 94, 96letrd 8032 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑀𝑥)
98 eluz2 9482 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1176 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1007adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
1018adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
1026adantlr 474 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10440 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
10499, 103syldan 280 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10441 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
106105adantlr 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
10799, 106syldan 280 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐽𝐾) + 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
1081adantlr 474 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
11014, 109oveq12d 5869 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)) = ((seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
1113adantlr 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
112 eluz2 9482 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐽𝐾)))
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1176 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
114113adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
115 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
1167adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
117 elfzuz 9966 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
118116, 117syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
119 uztrn 9492 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
120115, 118, 119syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10440 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
122120, 121syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
123122adantlr 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10424 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
125120, 105syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
126125adantlr 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10424 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (seq((𝐽𝐾) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
128110, 124, 1273eqtr4d 2213 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
12913adantr 274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
130 simpr 109 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (𝐽𝐾) = 𝑁)
131130fveq2d 5498 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
132130fveq2d 5498 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
133129, 131, 1323eqtr3d 2211 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) = 𝑁) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
134 elfzle2 9973 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
13519, 134syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
136 zleloe 9248 . . . 4 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁)))
13721, 25, 136syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁)))
138135, 137mpbid 146 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐾) < 𝑁 ∨ (𝐽𝐾) = 𝑁))
139128, 133, 138mpjaodan 793 1 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  wral 2448  csb 3049  ifcif 3525   class class class wbr 3987  cmpt 4048  ccnv 4608  wf 5192  1-1-ontowf1o 5195  cfv 5196  (class class class)co 5851  cr 7762  1c1 7764   + caddc 7766   < clt 7943  cle 7944  cmin 8079  cz 9201  cuz 9476  ...cfz 9954  ..^cfzo 10087  seqcseq 10390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-er 6510  df-en 6716  df-fin 6718  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-seqfrec 10391
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10445
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