Theorem maxabslemval 11762

Description: Lemma for maxabs 11763. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxabslemval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧

Proof of Theorem maxabslemval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 8151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	recnd 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 8483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	abscld 11735	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 7	readdcld 8202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 9384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
10		vex 2803	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	elpr 3688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
12		maxabsle 11758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
13	2, 9, 12	lensymd 8294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐴)
14		breq2 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐴))
15	14	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐴))
16	13, 15	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
17		maxabsle 11758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) / 2))
18	17	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) / 2))
19	5, 3	addcomd 8323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
20	5, 3	abssubd 11747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
21	19, 20	oveq12d 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
22	21	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
23	18, 22	breqtrd 4112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
24	4, 9, 23	lensymd 8294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐵)
25		breq2 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐵))
26	25	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐵))
27	24, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
28	16, 27	jaod 722	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
29	11, 28	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
30	29	ralrimiv 2602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥)
31		prid1g 3773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	31	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33		breq2 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐴))
34	33	rspcev 2908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
35	32, 34	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
36		prid2g 3774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
37	36	ad4antlr 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
38		breq2 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐵))
39	38	rspcev 2908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
40	37, 39	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
41	2	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
42	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
44		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
45	41, 42, 43, 44	maxabslemlub 11761	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝑥 < 𝐵))
46	35, 40, 45	mpjaodan 803	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
47	46	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
48	47	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
49	9, 30, 48	3jca 1201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {cpr 3668   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8024   + caddc 8028   < clt 8207   ≤ cle 8208   − cmin 8343   / cdiv 8845  2c2 9187  abscabs 11551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-rp 9882  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553

This theorem is referenced by:  maxabs  11763  maxleast  11767