Theorem maxabslemval 11976

Description: Lemma for maxabs 11977. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxabslemval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧

Proof of Theorem maxabslemval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 8305	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	recnd 8354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 8637	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	abscld 11949	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 7	readdcld 8355	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 9554	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
10		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	elpr 3730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
12		maxabsle 11972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
13	2, 9, 12	lensymd 8448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐴)
14		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐴))
15	14	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐴))
16	13, 15	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
17		maxabsle 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) / 2))
18	17	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) / 2))
19	5, 3	addcomd 8477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
20	5, 3	abssubd 11961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
21	19, 20	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
22	21	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵 − 𝐴))) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
23	18, 22	breqtrd 4156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
24	4, 9, 23	lensymd 8448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐵)
25		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐵))
26	25	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐵))
27	24, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
28	16, 27	jaod 729	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
29	11, 28	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥))
30	29	ralrimiv 2622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥)
31		prid1g 3815	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	31	ad4antr 498	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐴))
34	33	rspcev 2929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
35	32, 34	sylancom 424	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
36		prid2g 3816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
37	36	ad4antlr 499	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
38		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐵))
39	38	rspcev 2929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
40	37, 39	sylancom 424	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
41	2	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
42	4	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
44		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
45	41, 42, 43, 44	maxabslemlub 11975	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝑥 < 𝐵))
46	35, 40, 45	mpjaodan 810	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
47	46	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
48	47	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
49	9, 30, 48	3jca 1208	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {cpr 3710   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8178   + caddc 8182   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497   / cdiv 9003  2c2 9356  abscabs 11765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-rp 10057  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767

This theorem is used by:  maxabs  11977  maxleast  11981