ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxabslemval GIF version

Theorem maxabslemval 11011
Description: Lemma for maxabs 11012. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
maxabslemval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧

Proof of Theorem maxabslemval
StepHypRef Expression
1 readdcl 7769 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 7817 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
54recnd 7817 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
63, 5subcld 8096 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
76abscld 10984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
81, 7readdcld 7818 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
98rehalfcld 8989 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
10 vex 2692 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1110elpr 3552 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
12 maxabsle 11007 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
132, 9, 12lensymd 7907 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐴)
14 breq2 3940 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐴))
1514notbid 657 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐴))
1613, 15syl5ibrcom 156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥))
17 maxabsle 11007 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵𝐴))) / 2))
1817ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵𝐴))) / 2))
195, 3addcomd 7936 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
205, 3abssubd 10996 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(𝐴𝐵)))
2119, 20oveq12d 5799 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))))
2221oveq1d 5796 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) + (abs‘(𝐵𝐴))) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
2318, 22breqtrd 3961 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
244, 9, 23lensymd 7907 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐵)
25 breq2 3940 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐵))
2625notbid 657 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐵))
2724, 26syl5ibrcom 156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥))
2816, 27jaod 707 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥))
2911, 28syl5bi 151 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥))
3029ralrimiv 2507 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥)
31 prid1g 3634 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3231ad4antr 486 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33 breq2 3940 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧𝑥 < 𝐴))
3433rspcev 2792 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
3532, 34sylancom 417 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
36 prid2g 3635 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3736ad4antlr 487 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
38 breq2 3940 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧𝑥 < 𝐵))
3938rspcev 2792 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
4037, 39sylancom 417 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
412ad2antrr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
424ad2antrr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43 simplr 520 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
44 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
4541, 42, 43, 44maxabslemlub 11010 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
4635, 40, 45mpjaodan 788 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
4746ex 114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
4847ralrimiva 2508 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
499, 30, 483jca 1162 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 698  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  {cpr 3532   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cr 7642   + caddc 7646   < clt 7823  cle 7824  cmin 7956   / cdiv 8455  2c2 8794  abscabs 10800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802
This theorem is referenced by:  maxabs  11012  maxleast  11016
  Copyright terms: Public domain W3C validator