Theorem iseqf1olemab 10155

Description: Lemma for seq3f1o 10170. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemab.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
iseqf1olemab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqtr3 2134	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐾 ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2120	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐾 ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
3	2	adantll 465	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5		elfzelz 9699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zred 9077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ltm1d 8600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
9	8	ad2antrr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) < 𝐴)
10	7	ad2antrr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		peano2rem 7952	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
13		iseqf1olemab.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
14		elfzle2 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
16	15	ad2antrr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
17		iseqf1olemqcl.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
18		iseqf1olemqcl.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
19		iseqf1olemnab.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
20	17, 18, 4, 19	iseqf1olemqval 10153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
21	13	iftrued 3447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
22	20, 21	eqtrd 2147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
23	22	ad2antrr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
24		iseqf1olemnab.eq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
25	24	ad2antrr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
26		iseqf1olemnab.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
27	17, 18, 26, 19	iseqf1olemqval 10153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
28		iseqf1olemab.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
29	28	iftrued 3447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))))
30	27, 29	eqtrd 2147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))))
31	30	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))))
32		simplr 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐵 = 𝐾)
33	32	iftrued 3447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))) = 𝐾)
34	31, 33	eqtrd 2147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = 𝐾)
35	25, 34	eqtrd 2147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = 𝐾)
36		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
37	36	iffalsed 3450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
38	23, 35, 37	3eqtr3d 2155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
39	38	fveq2d 5379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) = (◡𝐽‘(𝐽‘(𝐴 − 1))))
40	18	ad2antrr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
41		elfzel1 9698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
42	17, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
43		elfzel2 9697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44	17, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
45		peano2zm 8996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
46	6, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
47	42, 44, 46	3jca 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
48	47	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
49	42	zred 9077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
50	49	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
51		elfzelz 9699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
52	17, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
53	52	zred 9077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
54	53	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
55	46	zred 9077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
56	55	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
57		elfzle1 9700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
58	17, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
59	58	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
60		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
61		eqcom 2117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 𝐾 ↔ 𝐾 = 𝐴)
62	60, 61	sylnib 648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
63		elfzle1 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝐴)
64	13, 63	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐴)
65		zleloe 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
66	52, 6, 65	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
67	64, 66	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴))
68	67	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴))
69	62, 68	ecased 1310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
70		zltlem1 9015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
71	52, 6, 70	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
72	71	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
73	69, 72	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
74	50, 54, 56, 59, 73	letrd 7809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐴 − 1))
75	7	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
76	44	zred 9077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
77	76	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	75	lem1d 8601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
79		elfzle2 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁)
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
81	80	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ 𝑁)
82	56, 75, 77, 78, 81	letrd 7809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝑁)
83	74, 82	jca 302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑀 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ 𝑁))
84		elfz2 9690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ 𝑁)))
85	48, 83, 84	sylanbrc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
86	85	adantlr 466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
87		f1ocnvfv1 5632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (◡𝐽‘(𝐽‘(𝐴 − 1))) = (𝐴 − 1))
88	40, 86, 87	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘(𝐽‘(𝐴 − 1))) = (𝐴 − 1))
89	39, 88	eqtrd 2147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) = (𝐴 − 1))
90	16, 89	breqtrd 3919	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐴 − 1))
91	10, 12, 90	lensymd 7807	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ (𝐴 − 1) < 𝐴)
92	9, 91	pm2.21dd 592	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
93		zdceq 9030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
94	6, 52, 93	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 = 𝐾)
95		exmiddc 804	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐾 → (𝐴 = 𝐾 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐾))
96	94, 95	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐾 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐾))
97	96	adantr 272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) → (𝐴 = 𝐾 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐾))
98	3, 92, 97	mpjaodan 770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
99		elfzelz 9699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
100	26, 99	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
101	100	zred 9077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
102	101	ltm1d 8600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) < 𝐵)
103	102	ad2antrr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
104	101	ad2antrr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐵 ∈ ℝ)
105		peano2rem 7952	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
106	104, 105	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
107		elfzle2 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐵 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
108	28, 107	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
109	108	ad2antrr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐵 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
110	30	ad2antrr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))))
111	24	eqcomd 2120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
112	111	ad2antrr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
113	22	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
114		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐾)
115	114	iftrued 3447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) = 𝐾)
116	113, 115	eqtrd 2147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = 𝐾)
117	112, 116	eqtrd 2147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = 𝐾)
118		simplr 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐵 = 𝐾)
119	118	iffalsed 3450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))) = (𝐽‘(𝐵 − 1)))
120	110, 117, 119	3eqtr3d 2155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐽‘(𝐵 − 1)))
121	120	fveq2d 5379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) = (◡𝐽‘(𝐽‘(𝐵 − 1))))
122	18	ad2antrr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
123		peano2zm 8996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
124	100, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
125	42, 44, 124	3jca 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
126	125	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
127	49	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
128	53	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
129	101, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
130	129	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
131	58	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
132		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → ¬ 𝐵 = 𝐾)
133		eqcom 2117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 𝐾 ↔ 𝐾 = 𝐵)
134	132, 133	sylnib 648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐵)
135		elfzle1 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝐵)
136	28, 135	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐵)
137	136	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝐵)
138		zleloe 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐵 ↔ (𝐾 < 𝐵 ∨ 𝐾 = 𝐵)))
139	52, 100, 138	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐵 ↔ (𝐾 < 𝐵 ∨ 𝐾 = 𝐵)))
140	139	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝐵 ↔ (𝐾 < 𝐵 ∨ 𝐾 = 𝐵)))
141	137, 140	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐵 ∨ 𝐾 = 𝐵))
142	134, 141	ecased 1310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐵)
143		zltlem1 9015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐵 ↔ 𝐾 ≤ (𝐵 − 1)))
144	52, 100, 143	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐵 ↔ 𝐾 ≤ (𝐵 − 1)))
145	144	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐵 ↔ 𝐾 ≤ (𝐵 − 1)))
146	142, 145	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐵 − 1))
147	127, 128, 130, 131, 146	letrd 7809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐵 − 1))
148	101	lem1d 8601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ≤ 𝐵)
149		elfzle2 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ≤ 𝑁)
150	26, 149	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑁)
151	129, 101, 76, 148, 150	letrd 7809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ≤ 𝑁)
152	151	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐵 − 1) ≤ 𝑁)
153	147, 152	jca 302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝑀 ≤ (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) ≤ 𝑁))
154		elfz2 9690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) ≤ 𝑁)))
155	126, 153, 154	sylanbrc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐵 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
156	155	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐵 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
157		f1ocnvfv1 5632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (◡𝐽‘(𝐽‘(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 1))
158	122, 156, 157	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘(𝐽‘(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 1))
159	121, 158	eqtrd 2147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) = (𝐵 − 1))
160	109, 159	breqtrd 3919	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐵 ≤ (𝐵 − 1))
161	104, 106, 160	lensymd 7807	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → ¬ (𝐵 − 1) < 𝐵)
162	103, 161	pm2.21dd 592	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
163	6	zcnd 9078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
164	163	ad2antrr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
165	100	zcnd 9078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
166	165	ad2antrr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐵 ∈ ℂ)
167		1cnd 7706	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
168	24	ad2antrr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
169	22	ad2antrr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
170		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
171	170	iffalsed 3450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
172	169, 171	eqtrd 2147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
173	30	ad2antrr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))))
174		simplr 502	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐵 = 𝐾)
175	174	iffalsed 3450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))) = (𝐽‘(𝐵 − 1)))
176	173, 175	eqtrd 2147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘(𝐵 − 1)))
177	168, 172, 176	3eqtr3d 2155	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) = (𝐽‘(𝐵 − 1)))
178		f1of1 5322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
179	18, 178	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
180	179	ad2antrr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
181	85	adantlr 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
182	155	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐵 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
183		f1veqaeq 5624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽‘(𝐴 − 1)) = (𝐽‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 − 1) = (𝐵 − 1)))
184	180, 181, 182, 183	syl12anc 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ((𝐽‘(𝐴 − 1)) = (𝐽‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 − 1) = (𝐵 − 1)))
185	177, 184	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) = (𝐵 − 1))
186	164, 166, 167, 185	subcan2d 8038	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
187	96	adantr 272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → (𝐴 = 𝐾 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐾))
188	162, 186, 187	mpjaodan 770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
189		zdceq 9030	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 𝐾)
190	100, 52, 189	syl2anc 406	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐾)
191		exmiddc 804	. . 3 ⊢ (DECID 𝐵 = 𝐾 → (𝐵 = 𝐾 ∨ ¬ 𝐵 = 𝐾))
192	190, 191	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐾 ∨ ¬ 𝐵 = 𝐾))
193	98, 188, 192	mpjaodan 770	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680  DECID wdc 802   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ifcif 3440   class class class wbr 3895   ↦ cmpt 3949  ^◡ccnv 4498  –1-1→wf1 5078  –1-1-onto→wf1o 5080  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  ℂcc 7545  ℝcr 7546  1c1 7548   < clt 7724   ≤ cle 7725   − cmin 7856  ℤcz 8958  ...cfz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10158