Theorem lt2add 8364

Description: Adding both sides of two 'less than' relations. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lt2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem lt2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simprl 526	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		simplr 525	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1 8348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
6		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7	3, 6, 2	ltadd2d 8340	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
8	5, 7	anbi12d 470	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))))
9	1, 3	readdcld 7949	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	2, 3	readdcld 7949	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 6	readdcld 7949	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
12		lttr 7993	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
14	8, 13	sylbid 149	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   + caddc 7777   < clt 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959

This theorem is referenced by:  addgt0  8367  lt2addi  8429  lt2halves  9113