Theorem ltleadd 8532

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltleadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem ltleadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 8515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
2	1	3com23 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
3	2	3expa 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
4	3	adantrr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
5		leadd2 8517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
6	5	3com23 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
7	6	3expb 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	7	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	4, 8	anbi12d 473	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))))
10		readdcl 8064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
12		readdcl 8064	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
15		readdcl 8064	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
17		ltletr 8175	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
19	9, 18	sylbid 150	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℝcr 7937   + caddc 7941   < clt 8120   ≤ cle 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-xp 4686  df-cnv 4688  df-iota 5238  df-fv 5285  df-ov 5957  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126

This theorem is referenced by:  leltadd  8533  addgtge0  8536  ltleaddd  8651