Theorem lt2halves 9221

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by NM, 13-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2halves	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Proof of Theorem lt2halves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2		rehalfcl 9212	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
3	2, 2	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
4	3	3ad2ant3 1022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
5		lt2add 8466	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ)) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
7		recn 8007	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8		2halves 9214	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
10	9	breq2d 4042	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
11	10	3ad2ant3 1022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
12	6, 11	sylibd 149	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873   + caddc 7877   < clt 8056   / cdiv 8693  2c2 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043

This theorem is referenced by:  lt2halvesd  9233