Theorem lt2halves 9288

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by NM, 13-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2halves	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Proof of Theorem lt2halves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2		rehalfcl 9279	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
3	2, 2	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
4	3	3ad2ant3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
5		lt2add 8533	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ)) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
7		recn 8073	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8		2halves 9281	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
10	9	breq2d 4062	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
11	10	3ad2ant3 1023	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
12	6, 11	sylibd 149	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939   + caddc 7943   < clt 8122   / cdiv 8760  2c2 9102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-2 9110

This theorem is referenced by:  lt2halvesd  9300