ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2add GIF version

Theorem le2add 8363
Description: Adding both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
le2add (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem le2add
StepHypRef Expression
1 simpll 524 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simprl 526 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 simplr 525 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 leadd1 8349 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1233 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6 simprr 527 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7 leadd2 8350 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
83, 6, 2, 7syl3anc 1233 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
95, 8anbi12d 470 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))))
101, 3readdcld 7949 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
112, 3readdcld 7949 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
122, 6readdcld 7949 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
13 letr 8002 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1233 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
159, 14sylbid 149 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  cr 7773   + caddc 7777  cle 7955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960
This theorem is referenced by:  addge0  8370  le2addi  8430  le2addd  8482
  Copyright terms: Public domain W3C validator