Theorem le2add 8735

Description: Adding both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
le2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem le2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simprl 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leadd1 8721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6		simprr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7		leadd2 8722	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 6, 2, 7	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	5, 8	anbi12d 473	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))))
10	1, 3	readdcld 8319	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 3	readdcld 8319	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
12	2, 6	readdcld 8319	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
13		letr 8372	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
15	9, 14	sylbid 150	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142   + caddc 8146   ≤ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  addge0  8742  le2addi  8802  le2addd  8854  swrdccatin2  11446