Theorem le2add 8623

Description: Adding both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
le2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem le2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simprl 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leadd1 8609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6		simprr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7		leadd2 8610	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 6, 2, 7	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	5, 8	anbi12d 473	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))))
10	1, 3	readdcld 8208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 3	readdcld 8208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
12	2, 6	readdcld 8208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
13		letr 8261	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
15	9, 14	sylbid 150	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030   + caddc 8034   ≤ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  addge0  8630  le2addi  8690  le2addd  8742  swrdccatin2  11309