ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbzbi GIF version

Theorem lbzbi 8996
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1462 . . 3 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2 nfre1 2413 . . 3 𝑥𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦
3 btwnz 8761 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
43simpld 110 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5 ssel2 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7 ltleletr 7470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥𝑥𝑦) → 𝑧𝑦))
86, 7syl3an1 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥𝑥𝑦) → 𝑧𝑦))
98expd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦)))
1093expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
115, 10syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1211expdimp 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1312com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1413imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦𝑧𝑦)))
1514ralrimiv 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑧𝑦))
16 ralim 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑧𝑦) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1817ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
1918anasss 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
2019expcom 114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))))
2120com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))))
2221imp 122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
2322imdistand 436 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
24 breq1 3814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
2524ralbidv 2374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
2625rspcev 2712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2723, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2827ex 113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
2928com23 77 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3029ancomsd 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3130expdimp 255 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3231rexlimdv 2482 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3332anasss 391 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3433expcom 114 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
354, 34mpdi 42 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3635ex 113 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3736com23 77 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
381, 2, 37rexlimd 2480 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
39 zssre 8653 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
40 ssrexv 3070 . . 3 (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4139, 40ax-mp 7 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4238, 41impbid1 140 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  wss 2984   class class class wbr 3811  cr 7252   < clt 7425  cle 7426  cz 8646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-z 8647
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator