ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbzbi GIF version

Theorem lbzbi 9690
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1542 . . 3 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2 nfre1 2540 . . 3 𝑥𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦
3 btwnz 9445 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
43simpld 112 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5 ssel2 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 zre 9330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7 ltleletr 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥𝑥𝑦) → 𝑧𝑦))
86, 7syl3an1 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥𝑥𝑦) → 𝑧𝑦))
98expd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦)))
1093expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
115, 10syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1211expdimp 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1312com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1413imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦𝑧𝑦)))
1514ralrimiv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑧𝑦))
16 ralim 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑧𝑦) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1817ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
1918anasss 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
2019expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))))
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))))
2221imp 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
2322imdistand 447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
24 breq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
2524ralbidv 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
2625rspcev 2868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2723, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2827ex 115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
2928com23 78 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3029ancomsd 269 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3130expdimp 259 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3231rexlimdv 2613 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3332anasss 399 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3433expcom 116 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
354, 34mpdi 43 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3635ex 115 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3736com23 78 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
381, 2, 37rexlimd 2611 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
39 zssre 9333 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
40 ssrexv 3248 . . 3 (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4139, 40ax-mp 5 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4238, 41impbid1 142 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wcel 2167  wral 2475  wrex 2476  wss 3157   class class class wbr 4033  cr 7878   < clt 8061  cle 8062  cz 9326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995  ax-arch 7998
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator