Theorem lbzbi 9579

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1522	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2		nfre1 2514	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
3		btwnz 9335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
4	3	simpld 111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5		ssel2 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		zre 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		ltleletr 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
8	6, 7	syl3an1 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	expd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
10	9	3expia 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
12	11	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
13	12	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
14	13	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
15	14	ralrimiv 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
16		ralim 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
18	17	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
20	19	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
22	21	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
23	22	imdistand 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
24		breq1 3993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	ralbidv 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rspcev 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
28	27	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	29	ancomsd 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
31	30	expdimp 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
32	31	rexlimdv 2587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
33	32	anasss 397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	expcom 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	4, 34	mpdi 43	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
36	35	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	com23 78	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
38	1, 2, 37	rexlimd 2585	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
39		zssre 9223	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
40		ssrexv 3213	. . 3 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
42	38, 41	impbid1 141	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 974   ∈ wcel 2142  ∀wral 2449  ∃wrex 2450   ⊆ wss 3122   class class class wbr 3990  ℝcr 7777   < clt 7958   ≤ cle 7959  ℤcz 9216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894  ax-arch 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-z 9217

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