Theorem nn0ge2m1nn 9506

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1red 8237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3		2re 9255	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		nn0re 9453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	3jca 1204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9		1lt2 9355	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11		ltleletr 8303	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
12	7, 10, 11	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13		elnnnn0c 9489	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
14	1, 12, 13	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nn1m1nn 9203	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17		1re 8221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	3, 17	lenlti 8322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 2)
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ 1 < 2)
20	9, 19	mt2 645	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		breq2 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
22	20, 21	mtbiri 682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑁)
23	22	pm2.21d 624	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
24	23	com12 30	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25	24	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
26	25	orim1d 795	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)))
27	16, 26	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
28		oridm 765	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
29	27, 28	sylib 122	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392  ℕcn 9185  2c2 9236  ℕ₀cn0 9444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9507