ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn GIF version

Theorem nn0ge2m1nn 8991
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 1red 7745 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3 2re 8750 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
43a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 nn0re 8940 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
62, 4, 53jca 1144 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 272 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9 1lt2 8843 . . . . . . 7 1 < 2
108, 9jctil 308 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11 ltleletr 7810 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
127, 10, 11sylc 62 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13 elnnnn0c 8976 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
141, 12, 13sylanbrc 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nn1m1nn 8698 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
1614, 15syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17 1re 7729 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
183, 17lenlti 7828 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 2)
1918biimpi 119 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ 1 < 2)
209, 19mt2 612 . . . . . . . 8 ¬ 2 ≤ 1
21 breq2 3901 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
2220, 21mtbiri 647 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑁)
2322pm2.21d 591 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2423com12 30 . . . . 5 (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2524adantl 273 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2625orim1d 759 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)))
2716, 26mpd 13 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
28 oridm 729 . 2 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
2927, 28sylib 121 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cr 7583  1c1 7585   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  cn 8680  2c2 8731  0cn0 8931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  8992
  Copyright terms: Public domain W3C validator