Theorem nn0ge2m1nn 9440

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1red 8172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3		2re 9191	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		nn0re 9389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	3jca 1201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9		1lt2 9291	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11		ltleletr 8239	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
12	7, 10, 11	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13		elnnnn0c 9425	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
14	1, 12, 13	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nn1m1nn 9139	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17		1re 8156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	3, 17	lenlti 8258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 2)
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ 1 < 2)
20	9, 19	mt2 643	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		breq2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
22	20, 21	mtbiri 679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑁)
23	22	pm2.21d 622	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
24	23	com12 30	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25	24	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
26	25	orim1d 792	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)))
27	16, 26	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
28		oridm 762	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
29	27, 28	sylib 122	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  1c1 8011   < clt 8192   ≤ cle 8193   − cmin 8328  ℕcn 9121  2c2 9172  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9441