Theorem basendxnmulrndx 13471

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13341	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 9298	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 13358	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 8319	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 9459	. . . 4 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8416	. . 3 ⊢ 1 ≠ 3
7		mulrndx 13467	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2449	. 2 ⊢ 1 ≠ (.r‘ndx)
9	3, 8	eqnetri 2443	1 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2420  ‘cfv 5375  1c1 8174  3c3 9339  ndxcnx 13332  Basecbs 13335  ._rcmulr 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-mulr 13428

This theorem is referenced by:  ressmulrg  13482  imasbas  13611  imasmulr  13613  opprbasg  14363