Theorem basendxnmulrndx 13175

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13046	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 9129	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 13063	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 8153	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 9290	. . . 4 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8251	. . 3 ⊢ 1 ≠ 3
7		mulrndx 13171	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2429	. 2 ⊢ 1 ≠ (.r‘ndx)
9	3, 8	eqnetri 2423	1 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2400  ‘cfv 5318  1c1 8008  3c3 9170  ndxcnx 13037  Basecbs 13040  ._rcmulr 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-mulr 13132

This theorem is referenced by:  ressmulrg  13186  imasbas  13348  imasmulr  13350  opprbasg  14046