Theorem basendxnmulrndx 13336

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13207	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 9244	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 13224	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 8269	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 9405	. . . 4 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8366	. . 3 ⊢ 1 ≠ 3
7		mulrndx 13332	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2441	. 2 ⊢ 1 ≠ (.r‘ndx)
9	3, 8	eqnetri 2435	1 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2412  ‘cfv 5351  1c1 8124  3c3 9285  ndxcnx 13198  Basecbs 13201  ._rcmulr 13280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-mulr 13293

This theorem is referenced by:  ressmulrg  13347  imasbas  13509  imasmulr  13511  opprbasg  14208