Theorem basendxnmulrndx 11916

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 11808	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 8641	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 11825	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 7689	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 8795	. . . 4 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	ltneii 7783	. . 3 ⊢ 1 ≠ 3
7		mulrndx 11912	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2311	. 2 ⊢ 1 ≠ (.r‘ndx)
9	3, 8	eqnetri 2305	1 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2282  ‘cfv 5081  1c1 7548  3c3 8682  ndxcnx 11799  Basecbs 11802  ._rcmulr 11865

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-ndx 11805  df-slot 11806  df-base 11808  df-mulr 11878

This theorem is referenced by: (None)