Theorem basendxnmulrndx 13548

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13417	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 9325	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 13434	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 8332	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 9488	. . . 4 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8430	. . 3 ⊢ 1 ≠ 3
7		mulrndx 13544	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2449	. 2 ⊢ 1 ≠ (.r‘ndx)
9	3, 8	eqnetri 2443	1 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

This proof depends on syntax axioms:   ≠ wne 2420  ‘cfv 5380  1c1 8187  3c3 9366  ndxcnx 13408  Basecbs 13411  ._rcmulr 13492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-mulr 13505

This theorem is used by:  ressmulrg  13559  imasbas  13688  imasmulr  13690  opprbasg  14490