Theorem slotsdifplendx 13373

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9279	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		4lt10 9807	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
3	1, 2	ltneii 8335	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;10
4		starvndx 13302	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
5		plendx 13363	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
6	4, 5	neeq12i 2420	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 4 ≠ ;10)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx)
8		9re 9289	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
9		9lt10 9802	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
10	8, 9	ltneii 8335	. . 3 ⊢ 9 ≠ ;10
11		tsetndx 13349	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
12	11, 5	neeq12i 2420	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 9 ≠ ;10)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2403  ‘cfv 5333  0cc0 8092  1c1 8093  4c4 9255  9c9 9260  ;cdc 9672  ndxcnx 13159  *_𝑟cstv 13242  TopSetcts 13246  lecple 13247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-dec 9673  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-starv 13255  df-tset 13259  df-ple 13260

This theorem is referenced by: (None)