Theorem slotsdifplendx 13507

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9331	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		4lt10 9862	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
3	1, 2	ltneii 8386	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;10
4		starvndx 13436	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
5		plendx 13497	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
6	4, 5	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 4 ≠ ;10)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx)
8		9re 9341	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
9		9lt10 9857	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
10	8, 9	ltneii 8386	. . 3 ⊢ 9 ≠ ;10
11		tsetndx 13483	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
12	11, 5	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 9 ≠ ;10)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2414  ‘cfv 5357  0cc0 8143  1c1 8144  4c4 9307  9c9 9312  ;cdc 9727  ndxcnx 13293  *_𝑟cstv 13376  TopSetcts 13380  lecple 13381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-starv 13389  df-tset 13393  df-ple 13394

This theorem is referenced by: (None)