Theorem slotsdifplendx 13541

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9360	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		4lt10 9891	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
3	1, 2	ltneii 8412	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;10
4		starvndx 13470	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
5		plendx 13531	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
6	4, 5	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 4 ≠ ;10)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx)
8		9re 9370	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
9		9lt10 9886	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
10	8, 9	ltneii 8412	. . 3 ⊢ 9 ≠ ;10
11		tsetndx 13517	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
12	11, 5	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 9 ≠ ;10)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2420  ‘cfv 5372  0cc0 8169  1c1 8170  4c4 9336  9c9 9341  ;cdc 9756  ndxcnx 13327  *_𝑟cstv 13410  TopSetcts 13414  lecple 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-starv 13423  df-tset 13427  df-ple 13428

This theorem is referenced by: (None)