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Theorem apdiff 13414
Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
apdiff (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem apdiff
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3940 . . 3 (𝑞 = 𝑠 → (𝐴 # 𝑞𝐴 # 𝑠))
21cbvralv 2657 . 2 (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
3 simplll 523 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 274 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simplrl 525 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
65adantr 274 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
7 simplrr 526 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
87adantr 274 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
9 simpr 109 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
10 breq2 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((𝑞 + 𝑟) / 2) → (𝐴 # 𝑠𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2)))
11 simpllr 524 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
12 qaddcl 9453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
135, 7, 12syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
14 2z 9105 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
15 zq 9444 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
1614, 15mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 2 ∈ ℚ)
17 2ne0 8835 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 2 ≠ 0)
19 qdivcl 9461 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
2013, 16, 18, 19syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
2110, 11, 20rspcdva 2797 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2))
223recnd 7817 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℂ)
23 qcn 9452 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
2420, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
25 apsym 8391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
2622, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
2721, 26mpbid 146 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
2827adantr 274 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
294, 6, 8, 9, 28apdifflemf 13412 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))
303adantr 274 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
317adantr 274 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℚ)
325adantr 274 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℚ)
33 simpr 109 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 < 𝑞)
34 qcn 9452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℂ)
355, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℂ)
36 qcn 9452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℂ)
377, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℂ)
3835, 37addcomd 7936 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 + 𝑟) = (𝑟 + 𝑞))
3938oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) = ((𝑟 + 𝑞) / 2))
4039, 27eqbrtrrd 3959 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
4140adantr 274 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
4230, 31, 32, 33, 41apdifflemf 13412 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) # (abs‘(𝐴𝑞)))
4322adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℂ)
4431, 36syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℂ)
4543, 44subcld 8096 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
4645abscld 10984 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
4746recnd 7817 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
4832, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℂ)
4943, 48subcld 8096 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴𝑞) ∈ ℂ)
5049abscld 10984 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑞)) ∈ ℝ)
5150recnd 7817 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑞)) ∈ ℂ)
52 apsym 8391 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴𝑞)) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴𝑟)) # (abs‘(𝐴𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
5347, 51, 52syl2anc 409 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((abs‘(𝐴𝑟)) # (abs‘(𝐴𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
5442, 53mpbid 146 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))
55 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞𝑟)
56 qlttri2 9459 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟𝑟 < 𝑞)))
575, 7, 56syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟𝑟 < 𝑞)))
5855, 57mpbid 146 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 < 𝑟𝑟 < 𝑞))
5929, 54, 58mpjaodan 788 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))
6059ex 114 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
6160ralrimivva 2517 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
62 simpll 519 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
63 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝑠 ∈ ℚ)
64 simplr 520 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
65 neg1rr 8849 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
66 neg1lt0 8851 . . . . . . . . 9 -1 < 0
67 0lt1 7912 . . . . . . . . 9 0 < 1
68 0re 7789 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
69 1re 7788 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
7065, 68, 69lttri 7891 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
7166, 67, 70mp2an 423 . . . . . . . 8 -1 < 1
7265, 71ltneii 7883 . . . . . . 7 -1 ≠ 1
7372a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ≠ 1)
74 neg1z 9109 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
75 zq 9444 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
7674, 75mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ∈ ℚ)
77 1z 9103 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
78 zq 9444 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
7977, 78mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 1 ∈ ℚ)
80 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑞 = -1)
81 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑟 = 1)
8280, 81neeq12d 2329 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝑞𝑟 ↔ -1 ≠ 1))
8380oveq2d 5797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − -1))
8483fveq2d 5432 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − -1)))
8581oveq2d 5797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − 1))
8685fveq2d 5432 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 1)))
8784, 86breq12d 3949 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1))))
8882, 87imbi12d 233 . . . . . . . 8 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
8988rspc2gv 2804 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
9076, 79, 89syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
9164, 73, 90mp2d 47 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
92 simpllr 524 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
93 2cnd 8816 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
94 simplr 520 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℚ)
95 qcn 9452 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℚ → 𝑠 ∈ ℂ)
9694, 95syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
97 2ap0 8836 . . . . . . . . . 10 2 # 0
9897a1i 9 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 # 0)
99 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ≠ 0)
100 0z 9088 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
101 zq 9444 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
102100, 101mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℚ)
103 qapne 9457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
10494, 102, 103syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
10599, 104mpbird 166 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 # 0)
10693, 96, 98, 105mulap0d 8442 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) # 0)
10714, 15mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℚ)
108 qmulcl 9455 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
109107, 94, 108syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
110 qcn 9452 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑠) ∈ ℚ → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
111109, 110syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
112 0cnd 7782 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
113 apsym 8391 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑠) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
114111, 112, 113syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
115106, 114mpbid 146 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 # (2 · 𝑠))
116 qapne 9457 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
117102, 109, 116syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
118115, 117mpbid 146 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ≠ (2 · 𝑠))
119 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑞 = 0)
120 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑟 = (2 · 𝑠))
121119, 120neeq12d 2329 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝑞𝑟 ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
122119oveq2d 5797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − 0))
123122fveq2d 5432 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 0)))
124120oveq2d 5797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (2 · 𝑠)))
125124fveq2d 5432 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
126123, 125breq12d 3949 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠)))))
127121, 126imbi12d 233 . . . . . . . 8 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
128127rspc2gv 2804 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
129102, 109, 128syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
13092, 118, 129mp2d 47 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
13162, 63, 91, 130apdifflemr 13413 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 # 𝑠)
132131ralrimiva 2508 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
13361, 132impbida 586 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))))
1342, 133syl5bb 191 1 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  wral 2417   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   · cmul 7648   < clt 7823  cmin 7956  -cneg 7957   # cap 8366   / cdiv 8455  2c2 8794  cz 9077  cq 9437  abscabs 10800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802
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