Theorem apdiff 13927

Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem apdiff

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3986	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑠 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 𝑠))
2	1	cbvralv 2692	. 2 ⊢ (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
3		simplll 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simplrl 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
6	5	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
7		simplrr 526	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
8	7	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
9		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
10		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ((𝑞 + 𝑟) / 2) → (𝐴 # 𝑠 ↔ 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2)))
11		simpllr 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
12		qaddcl 9573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
13	5, 7, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
14		2z 9219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
15		zq 9564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
16	14, 15	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 2 ∈ ℚ)
17		2ne0 8949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 2 ≠ 0)
19		qdivcl 9581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
20	13, 16, 18, 19	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
21	10, 11, 20	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2))
22	3	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		qcn 9572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
24	20, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
25		apsym 8504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
26	22, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
27	21, 26	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
28	27	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
29	4, 6, 8, 9, 28	apdifflemf 13925	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
30	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	7	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℚ)
32	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℚ)
33		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 < 𝑞)
34		qcn 9572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℂ)
35	5, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℂ)
36		qcn 9572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℂ)
37	7, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℂ)
38	35, 37	addcomd 8049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 + 𝑟) = (𝑟 + 𝑞))
39	38	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) = ((𝑟 + 𝑞) / 2))
40	39, 27	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
41	40	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
42	30, 31, 32, 33, 41	apdifflemf 13925	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)))
43	22	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	31, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 8209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
46	45	abscld 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
48	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℂ)
49	43, 48	subcld 8209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴 − 𝑞) ∈ ℂ)
50	49	abscld 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℂ)
52		apsym 8504	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
53	47, 51, 52	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
54	42, 53	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
55		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
56		qlttri2 9579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞)))
57	5, 7, 56	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞)))
58	55, 57	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞))
59	29, 54, 58	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
60	59	ex 114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
61	60	ralrimivva 2548	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
62		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝑠 ∈ ℚ)
64		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
65		neg1rr 8963	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
66		neg1lt0 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
67		0lt1 8025	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
68		0re 7899	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
69		1re 7898	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
70	65, 68, 69	lttri 8003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
71	66, 67, 70	mp2an 423	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
72	65, 71	ltneii 7995	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 1
73	72	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ≠ 1)
74		neg1z 9223	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		zq 9564	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
76	74, 75	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ∈ ℚ)
77		1z 9217	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
78		zq 9564	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
79	77, 78	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 1 ∈ ℚ)
80		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑞 = -1)
81		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑟 = 1)
82	80, 81	neeq12d 2356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ -1 ≠ 1))
83	80	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − -1))
84	83	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − -1)))
85	81	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − 1))
86	85	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 1)))
87	84, 86	breq12d 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1))))
88	82, 87	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
89	88	rspc2gv 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
90	76, 79, 89	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
91	64, 73, 90	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
92		simpllr 524	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
93		2cnd 8930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
94		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℚ)
95		qcn 9572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℚ → 𝑠 ∈ ℂ)
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
97		2ap0 8950	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
98	97	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 # 0)
99		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ≠ 0)
100		0z 9202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
101		zq 9564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
102	100, 101	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℚ)
103		qapne 9577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
104	94, 102, 103	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
105	99, 104	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 # 0)
106	93, 96, 98, 105	mulap0d 8555	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) # 0)
107	14, 15	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℚ)
108		qmulcl 9575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
109	107, 94, 108	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
110		qcn 9572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑠) ∈ ℚ → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
111	109, 110	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
112		0cnd 7892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
113		apsym 8504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑠) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
114	111, 112, 113	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
115	106, 114	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 # (2 · 𝑠))
116		qapne 9577	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
117	102, 109, 116	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
118	115, 117	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ≠ (2 · 𝑠))
119		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑞 = 0)
120		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑟 = (2 · 𝑠))
121	119, 120	neeq12d 2356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
122	119	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − 0))
123	122	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 0)))
124	120	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (2 · 𝑠)))
125	124	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
126	123, 125	breq12d 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠)))))
127	121, 126	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
128	127	rspc2gv 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
129	102, 109, 128	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
130	92, 118, 129	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
131	62, 63, 91, 130	apdifflemr 13926	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 # 𝑠)
132	131	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
133	61, 132	impbida 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
134	2, 133	syl5bb 191	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   − cmin 8069  -cneg 8070   # cap 8479   / cdiv 8568  2c2 8908  ℤcz 9191  ℚcq 9557  abscabs 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

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