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Theorem apdiff 15538
Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
apdiff (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem apdiff
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4033 . . 3 (𝑞 = 𝑠 → (𝐴 # 𝑞𝐴 # 𝑠))
21cbvralv 2726 . 2 (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
3 simplll 533 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simplrl 535 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
65adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
7 simplrr 536 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
87adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
9 simpr 110 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
10 breq2 4033 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((𝑞 + 𝑟) / 2) → (𝐴 # 𝑠𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2)))
11 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
12 qaddcl 9700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
135, 7, 12syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
14 2z 9345 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
15 zq 9691 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
1614, 15mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 2 ∈ ℚ)
17 2ne0 9074 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 2 ≠ 0)
19 qdivcl 9708 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
2013, 16, 18, 19syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
2110, 11, 20rspcdva 2869 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2))
223recnd 8048 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℂ)
23 qcn 9699 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
2420, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
25 apsym 8625 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
2622, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
2721, 26mpbid 147 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
2827adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
294, 6, 8, 9, 28apdifflemf 15536 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))
303adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
317adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℚ)
325adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℚ)
33 simpr 110 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 < 𝑞)
34 qcn 9699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℂ)
355, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℂ)
36 qcn 9699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℂ)
377, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℂ)
3835, 37addcomd 8170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 + 𝑟) = (𝑟 + 𝑞))
3938oveq1d 5933 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) = ((𝑟 + 𝑞) / 2))
4039, 27eqbrtrrd 4053 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
4140adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
4230, 31, 32, 33, 41apdifflemf 15536 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) # (abs‘(𝐴𝑞)))
4322adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℂ)
4431, 36syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℂ)
4543, 44subcld 8330 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
4645abscld 11325 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
4746recnd 8048 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
4832, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℂ)
4943, 48subcld 8330 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴𝑞) ∈ ℂ)
5049abscld 11325 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑞)) ∈ ℝ)
5150recnd 8048 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑞)) ∈ ℂ)
52 apsym 8625 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴𝑞)) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴𝑟)) # (abs‘(𝐴𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
5347, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((abs‘(𝐴𝑟)) # (abs‘(𝐴𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
5442, 53mpbid 147 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))
55 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞𝑟)
56 qlttri2 9706 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟𝑟 < 𝑞)))
575, 7, 56syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟𝑟 < 𝑞)))
5855, 57mpbid 147 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 < 𝑟𝑟 < 𝑞))
5929, 54, 58mpjaodan 799 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))
6059ex 115 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
6160ralrimivva 2576 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
62 simpll 527 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
63 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝑠 ∈ ℚ)
64 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
65 neg1rr 9088 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
66 neg1lt0 9090 . . . . . . . . 9 -1 < 0
67 0lt1 8146 . . . . . . . . 9 0 < 1
68 0re 8019 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
69 1re 8018 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
7065, 68, 69lttri 8124 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
7166, 67, 70mp2an 426 . . . . . . . 8 -1 < 1
7265, 71ltneii 8116 . . . . . . 7 -1 ≠ 1
7372a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ≠ 1)
74 neg1z 9349 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
75 zq 9691 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
7674, 75mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ∈ ℚ)
77 1z 9343 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
78 zq 9691 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
7977, 78mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 1 ∈ ℚ)
80 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑞 = -1)
81 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑟 = 1)
8280, 81neeq12d 2384 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝑞𝑟 ↔ -1 ≠ 1))
8380oveq2d 5934 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − -1))
8483fveq2d 5558 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − -1)))
8581oveq2d 5934 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − 1))
8685fveq2d 5558 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 1)))
8784, 86breq12d 4042 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1))))
8882, 87imbi12d 234 . . . . . . . 8 ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
8988rspc2gv 2876 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
9076, 79, 89syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
9164, 73, 90mp2d 47 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
92 simpllr 534 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))))
93 2cnd 9055 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
94 simplr 528 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℚ)
95 qcn 9699 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℚ → 𝑠 ∈ ℂ)
9694, 95syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
97 2ap0 9075 . . . . . . . . . 10 2 # 0
9897a1i 9 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 # 0)
99 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ≠ 0)
100 0z 9328 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
101 zq 9691 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
102100, 101mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℚ)
103 qapne 9704 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
10494, 102, 103syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
10599, 104mpbird 167 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 # 0)
10693, 96, 98, 105mulap0d 8677 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) # 0)
10714, 15mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℚ)
108 qmulcl 9702 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
109107, 94, 108syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
110 qcn 9699 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑠) ∈ ℚ → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
111109, 110syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
112 0cnd 8012 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
113 apsym 8625 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑠) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
114111, 112, 113syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
115106, 114mpbid 147 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 # (2 · 𝑠))
116 qapne 9704 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
117102, 109, 116syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
118115, 117mpbid 147 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ≠ (2 · 𝑠))
119 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑞 = 0)
120 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑟 = (2 · 𝑠))
121119, 120neeq12d 2384 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝑞𝑟 ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
122119oveq2d 5934 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − 0))
123122fveq2d 5558 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 0)))
124120oveq2d 5934 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (2 · 𝑠)))
125124fveq2d 5558 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
126123, 125breq12d 4042 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠)))))
127121, 126imbi12d 234 . . . . . . . 8 ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
128127rspc2gv 2876 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
129102, 109, 128syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
13092, 118, 129mp2d 47 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
13162, 63, 91, 130apdifflemr 15537 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 # 𝑠)
132131ralrimiva 2567 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
13361, 132impbida 596 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))))
1342, 133bitrid 192 1 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) # (abs‘(𝐴𝑟)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2164  wne 2364  wral 2472   class class class wbr 4029  cfv 5254  (class class class)co 5918  cc 7870  cr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054  cmin 8190  -cneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  cz 9317  cq 9684  abscabs 11141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143
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