Theorem apdiff 16763

Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem apdiff

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4097	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑠 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 𝑠))
2	1	cbvralv 2768	. 2 ⊢ (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
3		simplll 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simplrl 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
7		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
10		breq2 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ((𝑞 + 𝑟) / 2) → (𝐴 # 𝑠 ↔ 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2)))
11		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
12		qaddcl 9913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
13	5, 7, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
14		2z 9551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
15		zq 9904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
16	14, 15	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 2 ∈ ℚ)
17		2ne0 9277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 2 ≠ 0)
19		qdivcl 9921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
20	13, 16, 18, 19	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
21	10, 11, 20	rspcdva 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2))
22	3	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		qcn 9912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
24	20, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
25		apsym 8828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
27	21, 26	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
29	4, 6, 8, 9, 28	apdifflemf 16761	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
30	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℚ)
32	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℚ)
33		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 < 𝑞)
34		qcn 9912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℂ)
35	5, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℂ)
36		qcn 9912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℂ)
37	7, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℂ)
38	35, 37	addcomd 8372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 + 𝑟) = (𝑟 + 𝑞))
39	38	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) = ((𝑟 + 𝑞) / 2))
40	39, 27	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
42	30, 31, 32, 33, 41	apdifflemf 16761	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)))
43	22	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	31, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 8532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
46	45	abscld 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 8250	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
48	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℂ)
49	43, 48	subcld 8532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴 − 𝑞) ∈ ℂ)
50	49	abscld 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 8250	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℂ)
52		apsym 8828	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
53	47, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
54	42, 53	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
55		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
56		qlttri2 9919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞)))
57	5, 7, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞)))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞))
59	29, 54, 58	mpjaodan 806	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
60	59	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
61	60	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
62		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝑠 ∈ ℚ)
64		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
65		neg1rr 9291	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
66		neg1lt0 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
67		0lt1 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
68		0re 8222	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
69		1re 8221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
70	65, 68, 69	lttri 8326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
71	66, 67, 70	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
72	65, 71	ltneii 8318	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 1
73	72	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ≠ 1)
74		neg1z 9555	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		zq 9904	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
76	74, 75	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ∈ ℚ)
77		1z 9549	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
78		zq 9904	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
79	77, 78	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 1 ∈ ℚ)
80		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑞 = -1)
81		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑟 = 1)
82	80, 81	neeq12d 2423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ -1 ≠ 1))
83	80	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − -1))
84	83	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − -1)))
85	81	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − 1))
86	85	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 1)))
87	84, 86	breq12d 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1))))
88	82, 87	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
89	88	rspc2gv 2923	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
90	76, 79, 89	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
91	64, 73, 90	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
92		simpllr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
93		2cnd 9258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
94		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℚ)
95		qcn 9912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℚ → 𝑠 ∈ ℂ)
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
97		2ap0 9278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
98	97	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 # 0)
99		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ≠ 0)
100		0z 9534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
101		zq 9904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
102	100, 101	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℚ)
103		qapne 9917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
104	94, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
105	99, 104	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 # 0)
106	93, 96, 98, 105	mulap0d 8880	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) # 0)
107	14, 15	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℚ)
108		qmulcl 9915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
109	107, 94, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
110		qcn 9912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑠) ∈ ℚ → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
111	109, 110	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
112		0cnd 8215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
113		apsym 8828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑠) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
114	111, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
115	106, 114	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 # (2 · 𝑠))
116		qapne 9917	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
117	102, 109, 116	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
118	115, 117	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ≠ (2 · 𝑠))
119		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑞 = 0)
120		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑟 = (2 · 𝑠))
121	119, 120	neeq12d 2423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
122	119	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − 0))
123	122	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 0)))
124	120	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (2 · 𝑠)))
125	124	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
126	123, 125	breq12d 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠)))))
127	121, 126	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
128	127	rspc2gv 2923	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
129	102, 109, 128	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
130	92, 118, 129	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
131	62, 63, 91, 130	apdifflemr 16762	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 # 𝑠)
132	131	ralrimiva 2606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
133	61, 132	impbida 600	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
134	2, 133	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   < clt 8256   − cmin 8392  -cneg 8393   # cap 8803   / cdiv 8894  2c2 9236  ℤcz 9523  ℚcq 9897  abscabs 11620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622

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