Theorem apdiff 14732

Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem apdiff

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4007	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑠 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 𝑠))
2	1	cbvralv 2703	. 2 ⊢ (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
3		simplll 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
7		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
10		breq2 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ((𝑞 + 𝑟) / 2) → (𝐴 # 𝑠 ↔ 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2)))
11		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
12		qaddcl 9634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
13	5, 7, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ)
14		2z 9280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
15		zq 9625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
16	14, 15	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 2 ∈ ℚ)
17		2ne0 9010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 2 ≠ 0)
19		qdivcl 9642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 + 𝑟) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
20	13, 16, 18, 19	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ)
21	10, 11, 20	rspcdva 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2))
22	3	recnd 7985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		qcn 9633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℚ → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
24	20, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ)
25		apsym 8562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑞 + 𝑟) / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐴 # ((𝑞 + 𝑟) / 2) ↔ ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴))
27	21, 26	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) # 𝐴)
29	4, 6, 8, 9, 28	apdifflemf 14730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
30	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℚ)
32	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℚ)
33		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 < 𝑞)
34		qcn 9633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℂ)
35	5, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℂ)
36		qcn 9633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℂ)
37	7, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℂ)
38	35, 37	addcomd 8107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 + 𝑟) = (𝑟 + 𝑞))
39	38	oveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑞 + 𝑟) / 2) = ((𝑟 + 𝑞) / 2))
40	39, 27	eqbrtrrd 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((𝑟 + 𝑞) / 2) # 𝐴)
42	30, 31, 32, 33, 41	apdifflemf 14730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)))
43	22	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	31, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑟 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 8267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℂ)
46	45	abscld 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 7985	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ)
48	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℂ)
49	43, 48	subcld 8267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (𝐴 − 𝑞) ∈ ℂ)
50	49	abscld 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 7985	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℂ)
52		apsym 8562	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
53	47, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑟)) # (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
54	42, 53	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
55		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
56		qlttri2 9640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞)))
57	5, 7, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞)))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 ∨ 𝑟 < 𝑞))
59	29, 54, 58	mpjaodan 798	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
60	59	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
61	60	ralrimivva 2559	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
62		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝑠 ∈ ℚ)
64		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
65		neg1rr 9024	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
66		neg1lt0 9026	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
67		0lt1 8083	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
68		0re 7956	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
69		1re 7955	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
70	65, 68, 69	lttri 8061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
71	66, 67, 70	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
72	65, 71	ltneii 8053	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 1
73	72	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ≠ 1)
74		neg1z 9284	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		zq 9625	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
76	74, 75	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → -1 ∈ ℚ)
77		1z 9278	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
78		zq 9625	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
79	77, 78	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 1 ∈ ℚ)
80		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑞 = -1)
81		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑟 = 1)
82	80, 81	neeq12d 2367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ -1 ≠ 1))
83	80	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − -1))
84	83	fveq2d 5519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − -1)))
85	81	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − 1))
86	85	fveq2d 5519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − 1)))
87	84, 86	breq12d 4016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1))))
88	82, 87	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = -1 ∧ 𝑟 = 1) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
89	88	rspc2gv 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
90	76, 79, 89	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (-1 ≠ 1 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))))
91	64, 73, 90	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
92		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
93		2cnd 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
94		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℚ)
95		qcn 9633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℚ → 𝑠 ∈ ℂ)
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
97		2ap0 9011	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
98	97	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 # 0)
99		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ≠ 0)
100		0z 9263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
101		zq 9625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
102	100, 101	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℚ)
103		qapne 9638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
104	94, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 # 0 ↔ 𝑠 ≠ 0))
105	99, 104	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 # 0)
106	93, 96, 98, 105	mulap0d 8614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) # 0)
107	14, 15	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 2 ∈ ℚ)
108		qmulcl 9636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
109	107, 94, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℚ)
110		qcn 9633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑠) ∈ ℚ → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
111	109, 110	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (2 · 𝑠) ∈ ℂ)
112		0cnd 7949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
113		apsym 8562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑠) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
114	111, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) # 0 ↔ 0 # (2 · 𝑠)))
115	106, 114	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 # (2 · 𝑠))
116		qapne 9638	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
117	102, 109, 116	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (0 # (2 · 𝑠) ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
118	115, 117	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → 0 ≠ (2 · 𝑠))
119		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑞 = 0)
120		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → 𝑟 = (2 · 𝑠))
121	119, 120	neeq12d 2367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ 0 ≠ (2 · 𝑠)))
122	119	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − 0))
123	122	fveq2d 5519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 0)))
124	120	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (2 · 𝑠)))
125	124	fveq2d 5519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
126	123, 125	breq12d 4016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠)))))
127	121, 126	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = 0 ∧ 𝑟 = (2 · 𝑠)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
128	127	rspc2gv 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
129	102, 109, 128	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → (0 ≠ (2 · 𝑠) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))))
130	92, 118, 129	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑠))))
131	62, 63, 91, 130	apdifflemr 14731	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → 𝐴 # 𝑠)
132	131	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠)
133	61, 132	impbida 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑠 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑠 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
134	2, 133	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) # (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7991   − cmin 8127  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  2c2 8969  ℤcz 9252  ℚcq 9618  abscabs 11005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007

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