Theorem slotsdifdsndx 12605

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 8964	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 8898	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9161	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 9163	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 9487	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9389	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 8025	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 12546	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 12595	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 2360	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 147	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 9370	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 9160	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 9159	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 9048	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 8978	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9379	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 8025	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 12592	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 2360	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 147	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2343  ‘cfv 5205  0cc0 7783  1c1 7784  2c2 8938  4c4 8940  ;cdc 9352  ndxcnx 12422  *_𝑟cstv 12491  lecple 12496  distcds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-sep 4113  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1cn 7876  ax-1re 7877  ax-icn 7878  ax-addcl 7879  ax-addrcl 7880  ax-mulcl 7881  ax-mulrcl 7882  ax-addcom 7883  ax-mulcom 7884  ax-addass 7885  ax-mulass 7886  ax-distr 7887  ax-i2m1 7888  ax-0lt1 7889  ax-1rid 7890  ax-0id 7891  ax-rnegex 7892  ax-precex 7893  ax-cnre 7894  ax-pre-ltirr 7895  ax-pre-ltwlin 7896  ax-pre-lttrn 7897  ax-pre-ltadd 7899  ax-pre-mulgt0 7900

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-nel 2439  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-id 4284  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-pnf 7965  df-mnf 7966  df-xr 7967  df-ltxr 7968  df-le 7969  df-sub 8101  df-neg 8102  df-inn 8888  df-2 8946  df-3 8947  df-4 8948  df-5 8949  df-6 8950  df-7 8951  df-8 8952  df-9 8953  df-n0 9145  df-z 9222  df-dec 9353  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-starv 12504  df-ple 12509  df-ds 12511

This theorem is referenced by: (None)