Theorem slotsdifdsndx 13581

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9382	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 9316	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9582	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 9584	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 9914	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9816	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 8422	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 13495	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 13571	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 9797	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 9581	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 9580	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 9468	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 9396	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9806	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 8422	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 13556	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 146	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ≠ wne 2420  ‘cfv 5377  0cc0 8179  1c1 8180  2c2 9356  4c4 9358  ;cdc 9779  ndxcnx 13351  *_𝑟cstv 13435  lecple 13440  distcds 13442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-starv 13448  df-ple 13453  df-ds 13455

This theorem is used by: (None)