Theorem slotsdifdsndx 13528

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9336	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 9270	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 9537	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 9867	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9769	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 8388	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 13442	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 13518	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 9750	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 9534	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 9533	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 9421	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 9350	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9759	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 8388	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 13503	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 146	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2414  ‘cfv 5359  0cc0 8145  1c1 8146  2c2 9310  4c4 9312  ;cdc 9732  ndxcnx 13299  *_𝑟cstv 13382  lecple 13387  distcds 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-starv 13395  df-ple 13400  df-ds 13402

This theorem is referenced by: (None)