Theorem slotsdifdsndx 12632

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 8982	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 8916	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9179	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 9181	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 9505	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9407	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 8041	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 12573	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 12622	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 9388	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 9178	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 9177	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 9066	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 8996	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9397	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 8041	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 12619	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 146	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 272	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2347  ‘cfv 5212  0cc0 7799  1c1 7800  2c2 8956  4c4 8958  ;cdc 9370  ndxcnx 12439  *_𝑟cstv 12517  lecple 12522  distcds 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-5 8967  df-6 8968  df-7 8969  df-8 8970  df-9 8971  df-n0 9163  df-z 9240  df-dec 9371  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-starv 12530  df-ple 12535  df-ds 12537

This theorem is referenced by: (None)