Theorem efltlemlt 15497

Description: Lemma for eflt 15498. The converse of efltim 12258 plus the epsilon-delta setup. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efltlemlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
efltlemlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
efltlemlt.lt	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
efltlemlt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
efltlemlt.ed	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
efltlemlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem efltlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efltlemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
3		efltlemlt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	reefcld 12229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
6		efltlemlt.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	reefcld 12229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
9	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		efltim 12258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
11	3, 9, 10	syl2an2r 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
12	11	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴))
13	5, 8, 12	ltnsymd 8298	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
14	2, 13	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
15	6	reefcld 12229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
16	3	reefcld 12229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1	ltled 8297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵))
18	15, 16, 17	abssuble0d 11737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
20		efltlemlt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 9930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
22	6, 3, 21	absdifltd 11738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 ↔ ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
23	22	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷))
24	23	impl 380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)
25		efltlemlt.ed	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
27	24, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
28	19, 27	eqbrtrrd 4112	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
29	16, 15	resubcld 8559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	ltnrd 8290	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ¬ ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
32	28, 31	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → 𝐴 < 𝐵)
33	3, 20	ltaddrpd 9964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐵 + 𝐷))
34	3, 21	readdcld 8208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
35		axltwlin 8246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
36	3, 34, 6, 35	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
37	33, 36	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
39	14, 32, 38	mpjaodan 805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
40		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41	3, 20	ltsubrpd 9963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) < 𝐵)
42	3, 21	resubcld 8559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
43		axltwlin 8246	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
44	42, 3, 6, 43	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
45	41, 44	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
46	39, 40, 45	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℝcr 8030   + caddc 8034   < clt 8213   − cmin 8349  ℝ⁺crp 9887  abscabs 11557  expce 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208

This theorem is referenced by:  eflt  15498