Theorem efltlemlt 15094

Description: Lemma for eflt 15095. The converse of efltim 11880 plus the epsilon-delta setup. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efltlemlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
efltlemlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
efltlemlt.lt	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
efltlemlt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
efltlemlt.ed	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
efltlemlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem efltlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efltlemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
3		efltlemlt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	reefcld 11851	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
6		efltlemlt.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	reefcld 11851	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
9	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		efltim 11880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
11	3, 9, 10	syl2an2r 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
12	11	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴))
13	5, 8, 12	ltnsymd 8163	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
14	2, 13	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
15	6	reefcld 11851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
16	3	reefcld 11851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1	ltled 8162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵))
18	15, 16, 17	abssuble0d 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
20		efltlemlt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 9788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
22	6, 3, 21	absdifltd 11360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 ↔ ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
23	22	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷))
24	23	impl 380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)
25		efltlemlt.ed	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
27	24, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
28	19, 27	eqbrtrrd 4058	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
29	16, 15	resubcld 8424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	ltnrd 8155	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ¬ ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
32	28, 31	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → 𝐴 < 𝐵)
33	3, 20	ltaddrpd 9822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐵 + 𝐷))
34	3, 21	readdcld 8073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
35		axltwlin 8111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
36	3, 34, 6, 35	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
37	33, 36	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
39	14, 32, 38	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
40		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41	3, 20	ltsubrpd 9821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) < 𝐵)
42	3, 21	resubcld 8424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
43		axltwlin 8111	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
44	42, 3, 6, 43	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
45	41, 44	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
46	39, 40, 45	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895   + caddc 7899   < clt 8078   − cmin 8214  ℝ⁺crp 9745  abscabs 11179  expce 11824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830

This theorem is referenced by:  eflt  15095