Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efltlemlt GIF version

Theorem efltlemlt 12923
 Description: Lemma for eflt 12924. The converse of efltim 11461 plus the epsilon-delta setup. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efltlemlt.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
efltlemlt.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
efltlemlt.lt (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
efltlemlt.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
efltlemlt.ed (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
Assertion
Ref Expression
efltlemlt (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem efltlemlt
StepHypRef Expression
1 efltlemlt.lt . . . . 5 (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
21ad2antrr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
3 efltlemlt.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54reefcld 11432 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
6 efltlemlt.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
87reefcld 11432 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
96adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 efltim 11461 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
113, 9, 10syl2an2r 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
1211imp 123 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴))
135, 8, 12ltnsymd 7926 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
142, 13pm2.21dd 610 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
156reefcld 11432 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
163reefcld 11432 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
1715, 16, 1ltled 7925 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵))
1815, 16, 17abssuble0d 11001 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
1918ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
20 efltlemlt.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
2120rpred 9533 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
226, 3, 21absdifltd 11002 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷 ↔ ((𝐵𝐷) < 𝐴𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
2322biimprd 157 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐷) < 𝐴𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷))
2423impl 378 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷)
25 efltlemlt.ed . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
2625ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
2724, 26mpd 13 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
2819, 27eqbrtrrd 3961 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
2916, 15resubcld 8187 . . . . . 6 (𝜑 → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
3029ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
3130ltnrd 7919 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ¬ ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
3228, 31pm2.21dd 610 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → 𝐴 < 𝐵)
333, 20ltaddrpd 9567 . . . . 5 (𝜑𝐵 < (𝐵 + 𝐷))
343, 21readdcld 7839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
35 axltwlin 7876 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
363, 34, 6, 35syl3anc 1217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
3733, 36mpd 13 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
3837adantr 274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
3914, 32, 38mpjaodan 788 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐷) < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
40 simpr 109 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
413, 20ltsubrpd 9566 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐷) < 𝐵)
423, 21resubcld 8187 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
43 axltwlin 7876 . . . 4 (((𝐵𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐷) < 𝐵 → ((𝐵𝐷) < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
4442, 3, 6, 43syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷) < 𝐵 → ((𝐵𝐷) < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
4541, 44mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐷) < 𝐴𝐴 < 𝐵))
4639, 40, 45mpjaodan 788 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℝcr 7663   + caddc 7667   < clt 7844   − cmin 7977  ℝ+crp 9490  abscabs 10821  expce 11405 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-disj 3916  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-frec 6297  df-1o 6322  df-oadd 6326  df-er 6438  df-en 6644  df-dom 6645  df-fin 6646  df-sup 6881  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-ico 9727  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-fac 10524  df-bc 10546  df-ihash 10574  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100  df-sumdc 11175  df-ef 11411 This theorem is referenced by:  eflt  12924
 Copyright terms: Public domain W3C validator