Theorem efltlemlt 13489

Description: Lemma for eflt 13490. The converse of efltim 11661 plus the epsilon-delta setup. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efltlemlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
efltlemlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
efltlemlt.lt	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
efltlemlt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
efltlemlt.ed	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
efltlemlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem efltlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efltlemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
2	1	ad2antrr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
3		efltlemlt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	reefcld 11632	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
6		efltlemlt.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	reefcld 11632	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
9	6	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		efltim 11661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
11	3, 9, 10	syl2an2r 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
12	11	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴))
13	5, 8, 12	ltnsymd 8039	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
14	2, 13	pm2.21dd 615	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
15	6	reefcld 11632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
16	3	reefcld 11632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1	ltled 8038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵))
18	15, 16, 17	abssuble0d 11141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
19	18	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
20		efltlemlt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 9653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
22	6, 3, 21	absdifltd 11142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 ↔ ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
23	22	biimprd 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷))
24	23	impl 378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)
25		efltlemlt.ed	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
26	25	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
27	24, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
28	19, 27	eqbrtrrd 4013	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
29	16, 15	resubcld 8300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	ltnrd 8031	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ¬ ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
32	28, 31	pm2.21dd 615	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → 𝐴 < 𝐵)
33	3, 20	ltaddrpd 9687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐵 + 𝐷))
34	3, 21	readdcld 7949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
35		axltwlin 7987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
36	3, 34, 6, 35	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
37	33, 36	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
38	37	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
39	14, 32, 38	mpjaodan 793	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
40		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41	3, 20	ltsubrpd 9686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) < 𝐵)
42	3, 21	resubcld 8300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
43		axltwlin 7987	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
44	42, 3, 6, 43	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
45	41, 44	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
46	39, 40, 45	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   + caddc 7777   < clt 7954   − cmin 8090  ℝ⁺crp 9610  abscabs 10961  expce 11605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611

This theorem is referenced by:  eflt  13490