Theorem efltlemlt 15568

Description: Lemma for eflt 15569. The converse of efltim 12322 plus the epsilon-delta setup. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efltlemlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
efltlemlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
efltlemlt.lt	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
efltlemlt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
efltlemlt.ed	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
efltlemlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem efltlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efltlemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
3		efltlemlt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	reefcld 12293	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
6		efltlemlt.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	reefcld 12293	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
9	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		efltim 12322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
11	3, 9, 10	syl2an2r 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
12	11	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴))
13	5, 8, 12	ltnsymd 8341	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
14	2, 13	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
15	6	reefcld 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
16	3	reefcld 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1	ltled 8340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵))
18	15, 16, 17	abssuble0d 11800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
20		efltlemlt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 9975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
22	6, 3, 21	absdifltd 11801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 ↔ ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
23	22	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷))
24	23	impl 380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)
25		efltlemlt.ed	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
27	24, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
28	19, 27	eqbrtrrd 4117	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
29	16, 15	resubcld 8602	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	ltnrd 8333	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ¬ ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
32	28, 31	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → 𝐴 < 𝐵)
33	3, 20	ltaddrpd 10009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐵 + 𝐷))
34	3, 21	readdcld 8251	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
35		axltwlin 8289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
36	3, 34, 6, 35	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
37	33, 36	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
39	14, 32, 38	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
40		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41	3, 20	ltsubrpd 10008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) < 𝐵)
42	3, 21	resubcld 8602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
43		axltwlin 8289	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
44	42, 3, 6, 43	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
45	41, 44	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
46	39, 40, 45	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074   + caddc 8078   < clt 8256   − cmin 8392  ℝ⁺crp 9932  abscabs 11620  expce 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272

This theorem is referenced by:  eflt  15569