Theorem efltlemlt 15488

Description: Lemma for eflt 15489. The converse of efltim 12249 plus the epsilon-delta setup. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efltlemlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
efltlemlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
efltlemlt.lt	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
efltlemlt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
efltlemlt.ed	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
efltlemlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem efltlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efltlemlt.lt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
3		efltlemlt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	reefcld 12220	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
6		efltlemlt.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	reefcld 12220	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
9	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		efltim 12249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
11	3, 9, 10	syl2an2r 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
12	11	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴))
13	5, 8, 12	ltnsymd 8289	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵))
14	2, 13	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
15	6	reefcld 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
16	3	reefcld 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1	ltled 8288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵))
18	15, 16, 17	abssuble0d 11728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
20		efltlemlt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 9921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
22	6, 3, 21	absdifltd 11729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 ↔ ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
23	22	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷))
24	23	impl 380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)
25		efltlemlt.ed	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷 → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴))))
27	24, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → (abs‘((exp‘𝐴) − (exp‘𝐵))) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
28	19, 27	eqbrtrrd 4110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
29	16, 15	resubcld 8550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	ltnrd 8281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → ¬ ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)) < ((exp‘𝐵) − (exp‘𝐴)))
32	28, 31	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)) → 𝐴 < 𝐵)
33	3, 20	ltaddrpd 9955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐵 + 𝐷))
34	3, 21	readdcld 8199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
35		axltwlin 8237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
36	3, 34, 6, 35	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (𝐵 + 𝐷) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷))))
37	33, 36	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐵 + 𝐷)))
39	14, 32, 38	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐷) < 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
40		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41	3, 20	ltsubrpd 9954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) < 𝐵)
42	3, 21	resubcld 8550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
43		axltwlin 8237	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
44	42, 3, 6, 43	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐵 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
45	41, 44	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
46	39, 40, 45	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8021   + caddc 8025   < clt 8204   − cmin 8340  ℝ⁺crp 9878  abscabs 11548  expce 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199

This theorem is referenced by:  eflt  15489