ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d GIF version

Theorem frec2uzlt2d 10435
Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10430) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzzd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzltd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzltd 10434 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
6 nntri3or 6518 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
73, 4, 6syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
8 ax-1 6 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
10 fveq2 5534 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1110adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1211breq2d 4030 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐴) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1312biimpar 297 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
141, 2, 3frec2uzzd 10431 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1514adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1615adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1716zred 9405 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1817ltnrd 8099 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
1913, 18pm2.21dd 621 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → 𝐴𝐵)
2019ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
2120ex 115 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
221, 2, 4frec2uzzd 10431 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2322adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2423zred 9405 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2514adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
2625zred 9405 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
271, 2, 4, 3frec2uzltd 10434 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
2827imp 124 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴))
2924, 26, 28ltnsymd 8107 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))
3029pm2.21d 620 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
3130ex 115 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
329, 21, 313jaod 1315 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
337, 32mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
345, 33impbid 129 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cmpt 4079  ωcom 4607  cfv 5235  (class class class)co 5896  freccfrec 6415  1c1 7842   + caddc 7844   < clt 8022  cz 9283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10438  frec2uzled  10460
  Copyright terms: Public domain W3C validator