ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d GIF version

Theorem frec2uzlt2d 9714
Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 9709) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzzd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzltd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzltd 9713 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
6 nntri3or 6189 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
73, 4, 6syl2anc 403 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
8 ax-1 5 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
10 fveq2 5256 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1110adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1211breq2d 3826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐴) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1312biimpar 291 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
141, 2, 3frec2uzzd 9710 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1514adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1615adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1716zred 8778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1817ltnrd 7517 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
1913, 18pm2.21dd 583 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → 𝐴𝐵)
2019ex 113 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
2120ex 113 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
221, 2, 4frec2uzzd 9710 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2322adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2423zred 8778 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2514adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
2625zred 8778 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
271, 2, 4, 3frec2uzltd 9713 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
2827imp 122 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴))
2924, 26, 28ltnsymd 7524 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))
3029pm2.21d 582 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
3130ex 113 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
329, 21, 313jaod 1238 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
337, 32mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
345, 33impbid 127 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3o 921   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  cmpt 3868  ωcom 4371  cfv 4972  (class class class)co 5594  freccfrec 6090  1c1 7272   + caddc 7274   < clt 7443  cz 8660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9717  frec2uzled  9739
  Copyright terms: Public domain W3C validator