Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d GIF version

Theorem frec2uzlt2d 10191
 Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10186) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzzd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzltd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzltd 10190 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
6 nntri3or 6389 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
73, 4, 6syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
8 ax-1 6 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
10 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1110adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1211breq2d 3941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐴) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1312biimpar 295 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
141, 2, 3frec2uzzd 10187 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1514adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1615adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1716zred 9187 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1817ltnrd 7889 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
1913, 18pm2.21dd 609 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → 𝐴𝐵)
2019ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
2120ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
221, 2, 4frec2uzzd 10187 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2322adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2423zred 9187 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2514adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
2625zred 9187 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
271, 2, 4, 3frec2uzltd 10190 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
2827imp 123 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴))
2924, 26, 28ltnsymd 7896 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))
3029pm2.21d 608 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
3130ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
329, 21, 313jaod 1282 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
337, 32mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
345, 33impbid 128 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ωcom 4504  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287  1c1 7635   + caddc 7637   < clt 7814  ℤcz 9068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341 This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10194  frec2uzled  10216
 Copyright terms: Public domain W3C validator