Theorem frec2uzlt2d 10530

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10525) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10529	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6		nntri3or 6569	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
7	3, 4, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
10		fveq2 5570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
12	11	breq2d 4055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
13	12	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	zred 9477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
19	13, 18	pm2.21dd 621	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
20	19	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	20	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zred 9477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
25	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25	zred 9477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴))
29	24, 26, 28	ltnsymd 8174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))
30	29	pm2.21d 620	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
31	30	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
32	9, 21, 31	3jaod 1316	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
33	7, 32	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
34	5, 33	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043   ↦ cmpt 4104  ωcom 4636  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  freccfrec 6466  1c1 7908   + caddc 7910   < clt 8089  ℤcz 9354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10533  frec2uzled  10555  nninfctlemfo  12280