ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d GIF version

Theorem frec2uzlt2d 9960
Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 9955) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzzd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzltd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzltd 9959 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
6 nntri3or 6294 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
73, 4, 6syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
8 ax-1 5 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
10 fveq2 5340 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1110adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1211breq2d 3879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐴) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1312biimpar 292 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
141, 2, 3frec2uzzd 9956 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1514adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1615adantr 271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1716zred 8967 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1817ltnrd 7693 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
1913, 18pm2.21dd 588 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → 𝐴𝐵)
2019ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
2120ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
221, 2, 4frec2uzzd 9956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2322adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2423zred 8967 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2514adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
2625zred 8967 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
271, 2, 4, 3frec2uzltd 9959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
2827imp 123 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴))
2924, 26, 28ltnsymd 7700 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))
3029pm2.21d 587 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
3130ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
329, 21, 313jaod 1247 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
337, 32mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
345, 33impbid 128 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 926   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  cmpt 3921  ωcom 4433  cfv 5049  (class class class)co 5690  freccfrec 6193  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619  cz 8848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9963  frec2uzled  9985
  Copyright terms: Public domain W3C validator