Theorem frec2uzlt2d 10712

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10707) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10711	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6		nntri3or 6704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
7	3, 4, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
10		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
12	11	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
13	12	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	zred 9646	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8333	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
19	13, 18	pm2.21dd 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
20	19	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	20	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zred 9646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
25	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25	zred 9646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴))
29	24, 26, 28	ltnsymd 8341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))
30	29	pm2.21d 624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
31	30	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
32	9, 21, 31	3jaod 1341	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
33	7, 32	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
34	5, 33	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ωcom 4694  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  freccfrec 6599  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10715  frec2uzled  10737  nninfctlemfo  12674