Theorem frec2uzlt2d 10353

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10348) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10352	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6		nntri3or 6470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
7	3, 4, 6	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
10		fveq2 5494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
11	10	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
12	11	breq2d 3999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
13	12	biimpar 295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	zred 9327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
19	13, 18	pm2.21dd 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
20	19	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	20	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
23	22	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zred 9327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
25	14	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25	zred 9327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
28	27	imp 123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴))
29	24, 26, 28	ltnsymd 8032	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))
30	29	pm2.21d 614	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
31	30	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
32	9, 21, 31	3jaod 1299	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
33	7, 32	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
34	5, 33	impbid 128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987   ↦ cmpt 4048  ωcom 4572  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  freccfrec 6367  1c1 7768   + caddc 7770   < clt 7947  ℤcz 9205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10356  frec2uzled  10378