Theorem frec2uzlt2d 10571

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10566) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6		nntri3or 6592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
7	3, 4, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
10		fveq2 5589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
12	11	breq2d 4063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
13	12	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	zred 9515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐴))
19	13, 18	pm2.21dd 621	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
20	19	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	20	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zred 9515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
25	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25	zred 9515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴))
29	24, 26, 28	ltnsymd 8212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))
30	29	pm2.21d 620	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
31	30	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
32	9, 21, 31	3jaod 1317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)))
33	7, 32	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
34	5, 33	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051   ↦ cmpt 4113  ωcom 4646  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  freccfrec 6489  1c1 7946   + caddc 7948   < clt 8127  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10574  frec2uzled  10596  nninfctlemfo  12436