Theorem ltled 8145

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ℝcr 7878   < clt 8061   ≤ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8146  addgt0d  8548  lt2addd  8594  lt2msq1  8912  lediv12a  8921  ledivp1  8930  nn2ge  9023  fznatpl1  10151  exbtwnzlemex  10339  apbtwnz  10364  iseqf1olemkle  10589  expnbnd  10755  nn0ltexp2  10801  iswrdiz  10942  cvg1nlemres  11150  resqrexlemnm  11183  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemglsq  11187  sqrtgt0  11199  leabs  11239  ltabs  11252  abslt  11253  absle  11254  maxabslemab  11371  2zsupmax  11391  2zinfmin  11408  xrmaxiflemab  11412  fsum3cvg3  11561  divcnv  11662  expcnvre  11668  absltap  11674  cvgratnnlemnexp  11689  cvgratnnlemmn  11690  cvgratnnlemfm  11694  mertenslemi1  11700  sinltxirr  11926  cos12dec  11933  dvdslelemd  12008  divalglemnn  12083  divalglemeuneg  12088  bitsfzo  12119  lcmgcdlem  12245  isprm5lem  12309  znege1  12346  sqrt2irraplemnn  12347  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  4sqlem7  12553  ennnfonelemex  12631  strleund  12781  suplociccreex  14860  ivthinclemlm  14870  ivthinclemum  14871  ivthinclemlopn  14872  ivthinclemuopn  14874  ivthdec  14880  hoverlt1  14885  hovergt0  14886  dveflem  14962  efltlemlt  15010  sin0pilem1  15017  sin0pilem2  15018  coseq0negpitopi  15072  tangtx  15074  cosq34lt1  15086  cos02pilt1  15087  lgseisenlem1  15311  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  lgsquadlem3  15320  apdifflemf  15690