Theorem ltled 8162

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895   < clt 8078   ≤ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8163  addgt0d  8565  lt2addd  8611  lt2msq1  8929  lediv12a  8938  ledivp1  8947  nn2ge  9040  fznatpl1  10168  exbtwnzlemex  10356  apbtwnz  10381  iseqf1olemkle  10606  expnbnd  10772  nn0ltexp2  10818  iswrdiz  10959  cvg1nlemres  11167  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemglsq  11204  sqrtgt0  11216  leabs  11256  ltabs  11269  abslt  11270  absle  11271  maxabslemab  11388  2zsupmax  11408  2zinfmin  11425  xrmaxiflemab  11429  fsum3cvg3  11578  divcnv  11679  expcnvre  11685  absltap  11691  cvgratnnlemnexp  11706  cvgratnnlemmn  11707  cvgratnnlemfm  11711  mertenslemi1  11717  sinltxirr  11943  cos12dec  11950  dvdslelemd  12025  divalglemnn  12100  divalglemeuneg  12105  bitsfzo  12137  bitsmod  12138  lcmgcdlem  12270  isprm5lem  12334  znege1  12371  sqrt2irraplemnn  12372  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  4sqlem7  12578  ennnfonelemex  12656  strleund  12806  suplociccreex  14944  ivthinclemlm  14954  ivthinclemum  14955  ivthinclemlopn  14956  ivthinclemuopn  14958  ivthdec  14964  hoverlt1  14969  hovergt0  14970  dveflem  15046  efltlemlt  15094  sin0pilem1  15101  sin0pilem2  15102  coseq0negpitopi  15156  tangtx  15158  cosq34lt1  15170  cos02pilt1  15171  lgseisenlem1  15395  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  apdifflemf  15777