Theorem ltled 8452

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8419	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  ltnsymd  8453  addgt0d  8856  lt2addd  8903  lt2msq1  9223  lediv12a  9232  ledivp1  9241  nn2ge  9346  fznatpl1  10499  exbtwnzlemex  10700  apbtwnz  10725  iseqf1olemkle  10954  expnbnd  11121  nn0ltexp2  11168  bcm1n  11228  iswrdiz  11332  cvg1nlemres  11772  resqrexlemnm  11805  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemglsq  11809  sqrtgt0  11821  leabs  11861  ltabs  11875  abslt  11876  absle  11877  maxabslemab  11994  2zsupmax  12014  2zinfmin  12033  xrmaxiflemab  12037  fsum3cvg3  12187  divcnv  12288  expcnvre  12294  absltap  12300  cvgratnnlemnexp  12315  cvgratnnlemmn  12316  cvgratnnlemfm  12320  mertenslemi1  12326  sinltxirr  12552  cos12dec  12559  dvdslelemd  12634  divalglemnn  12709  divalglemeuneg  12714  bitsfzo  12746  bitsmod  12747  lcmgcdlem  12879  isprm5lem  12944  znege1  12982  sqrt2irraplemnn  12983  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  4sqlem7  13191  ballotfilemonn  13278  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemimin  13306  ballotfilemsgt1  13311  ballotfilemfrcn0  13330  ennnfonelemex  13362  strleund  13515  suplociccreex  15867  ivthinclemlm  15877  ivthinclemum  15878  ivthinclemlopn  15879  ivthinclemuopn  15881  ivthdec  15887  hoverlt1  15892  hovergt0  15893  dveflem  15969  efltlemlt  16017  sin0pilem1  16025  sin0pilem2  16026  coseq0negpitopi  16080  tangtx  16082  cosq34lt1  16095  cos02pilt1  16096  pellexlem2  16247  ppiqltx  16298  bposlem1  16328  lgseisenlem1  16411  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  apdifflemf  17319