Theorem ltled 8013

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 7982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748   < clt 7929   ≤ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8014  addgt0d  8415  lt2addd  8461  lt2msq1  8776  lediv12a  8785  ledivp1  8794  nn2ge  8886  fznatpl1  10007  exbtwnzlemex  10181  apbtwnz  10205  iseqf1olemkle  10415  expnbnd  10574  nn0ltexp2  10619  cvg1nlemres  10923  resqrexlemnm  10956  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemglsq  10960  sqrtgt0  10972  leabs  11012  ltabs  11025  abslt  11026  absle  11027  maxabslemab  11144  2zsupmax  11163  2zinfmin  11180  xrmaxiflemab  11184  fsum3cvg3  11333  divcnv  11434  expcnvre  11440  absltap  11446  cvgratnnlemnexp  11461  cvgratnnlemmn  11462  cvgratnnlemfm  11466  mertenslemi1  11472  cos12dec  11704  dvdslelemd  11777  divalglemnn  11851  divalglemeuneg  11856  lcmgcdlem  12005  isprm5lem  12069  znege1  12106  sqrt2irraplemnn  12107  eulerthlemrprm  12157  eulerthlema  12158  4sqlem7  12310  ennnfonelemex  12343  strleund  12478  suplociccreex  13202  ivthinclemlm  13212  ivthinclemum  13213  ivthinclemlopn  13214  ivthinclemuopn  13216  ivthdec  13222  dveflem  13287  efltlemlt  13295  sin0pilem1  13302  sin0pilem2  13303  coseq0negpitopi  13357  tangtx  13359  cosq34lt1  13371  cos02pilt1  13372  apdifflemf  13885