Theorem ltled 8298

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8299  addgt0d  8701  lt2addd  8747  lt2msq1  9065  lediv12a  9074  ledivp1  9083  nn2ge  9176  fznatpl1  10311  exbtwnzlemex  10510  apbtwnz  10535  iseqf1olemkle  10760  expnbnd  10926  nn0ltexp2  10972  iswrdiz  11124  cvg1nlemres  11563  resqrexlemnm  11596  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemglsq  11600  sqrtgt0  11612  leabs  11652  ltabs  11665  abslt  11666  absle  11667  maxabslemab  11784  2zsupmax  11804  2zinfmin  11821  xrmaxiflemab  11825  fsum3cvg3  11975  divcnv  12076  expcnvre  12082  absltap  12088  cvgratnnlemnexp  12103  cvgratnnlemmn  12104  cvgratnnlemfm  12108  mertenslemi1  12114  sinltxirr  12340  cos12dec  12347  dvdslelemd  12422  divalglemnn  12497  divalglemeuneg  12502  bitsfzo  12534  bitsmod  12535  lcmgcdlem  12667  isprm5lem  12731  znege1  12768  sqrt2irraplemnn  12769  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  4sqlem7  12975  ennnfonelemex  13053  strleund  13204  suplociccreex  15367  ivthinclemlm  15377  ivthinclemum  15378  ivthinclemlopn  15379  ivthinclemuopn  15381  ivthdec  15387  hoverlt1  15392  hovergt0  15393  dveflem  15469  efltlemlt  15517  sin0pilem1  15524  sin0pilem2  15525  coseq0negpitopi  15579  tangtx  15581  cosq34lt1  15593  cos02pilt1  15594  lgseisenlem1  15818  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  lgsquadlem3  15827  apdifflemf  16701