Theorem ltled 8261

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994   < clt 8177   ≤ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8262  addgt0d  8664  lt2addd  8710  lt2msq1  9028  lediv12a  9037  ledivp1  9046  nn2ge  9139  fznatpl1  10268  exbtwnzlemex  10464  apbtwnz  10489  iseqf1olemkle  10714  expnbnd  10880  nn0ltexp2  10926  iswrdiz  11073  cvg1nlemres  11491  resqrexlemnm  11524  resqrexlemcvg  11525  resqrexlemglsq  11528  sqrtgt0  11540  leabs  11580  ltabs  11593  abslt  11594  absle  11595  maxabslemab  11712  2zsupmax  11732  2zinfmin  11749  xrmaxiflemab  11753  fsum3cvg3  11902  divcnv  12003  expcnvre  12009  absltap  12015  cvgratnnlemnexp  12030  cvgratnnlemmn  12031  cvgratnnlemfm  12035  mertenslemi1  12041  sinltxirr  12267  cos12dec  12274  dvdslelemd  12349  divalglemnn  12424  divalglemeuneg  12429  bitsfzo  12461  bitsmod  12462  lcmgcdlem  12594  isprm5lem  12658  znege1  12695  sqrt2irraplemnn  12696  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  4sqlem7  12902  ennnfonelemex  12980  strleund  13131  suplociccreex  15292  ivthinclemlm  15302  ivthinclemum  15303  ivthinclemlopn  15304  ivthinclemuopn  15306  ivthdec  15312  hoverlt1  15317  hovergt0  15318  dveflem  15394  efltlemlt  15442  sin0pilem1  15449  sin0pilem2  15450  coseq0negpitopi  15504  tangtx  15506  cosq34lt1  15518  cos02pilt1  15519  lgseisenlem1  15743  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  apdifflemf  16373