Theorem ltled 8447

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  ltnsymd  8448  addgt0d  8851  lt2addd  8898  lt2msq1  9218  lediv12a  9227  ledivp1  9236  nn2ge  9340  fznatpl1  10494  exbtwnzlemex  10695  apbtwnz  10720  iseqf1olemkle  10949  expnbnd  11116  nn0ltexp2  11163  bcm1n  11223  iswrdiz  11327  cvg1nlemres  11767  resqrexlemnm  11800  resqrexlemcvg  11801  resqrexlemglsq  11804  sqrtgt0  11816  leabs  11856  ltabs  11870  abslt  11871  absle  11872  maxabslemab  11989  2zsupmax  12009  2zinfmin  12028  xrmaxiflemab  12032  fsum3cvg3  12182  divcnv  12283  expcnvre  12289  absltap  12295  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratnnlemmn  12311  cvgratnnlemfm  12315  mertenslemi1  12321  sinltxirr  12547  cos12dec  12554  dvdslelemd  12629  divalglemnn  12704  divalglemeuneg  12709  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  lcmgcdlem  12874  isprm5lem  12939  znege1  12977  sqrt2irraplemnn  12978  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  4sqlem7  13186  ballotfilemonn  13273  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemimin  13301  ballotfilemsgt1  13306  ballotfilemfrcn0  13325  ennnfonelemex  13357  strleund  13510  suplociccreex  15816  ivthinclemlm  15826  ivthinclemum  15827  ivthinclemlopn  15828  ivthinclemuopn  15830  ivthdec  15836  hoverlt1  15841  hovergt0  15842  dveflem  15918  efltlemlt  15966  sin0pilem1  15974  sin0pilem2  15975  coseq0negpitopi  16029  tangtx  16031  cosq34lt1  16043  cos02pilt1  16044  pellexlem2  16191  ppiqltx  16242  bposlem1  16272  lgseisenlem1  16355  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  apdifflemf  17262