Theorem ltled 8435

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350   ≤ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8436  addgt0d  8839  lt2addd  8885  lt2msq1  9205  lediv12a  9214  ledivp1  9223  nn2ge  9316  fznatpl1  10461  exbtwnzlemex  10662  apbtwnz  10687  iseqf1olemkle  10912  expnbnd  11079  nn0ltexp2  11125  bcm1n  11185  iswrdiz  11289  cvg1nlemres  11729  resqrexlemnm  11762  resqrexlemcvg  11763  resqrexlemglsq  11766  sqrtgt0  11778  leabs  11818  ltabs  11831  abslt  11832  absle  11833  maxabslemab  11950  2zsupmax  11970  2zinfmin  11987  xrmaxiflemab  11991  fsum3cvg3  12141  divcnv  12242  expcnvre  12248  absltap  12254  cvgratnnlemnexp  12269  cvgratnnlemmn  12270  cvgratnnlemfm  12274  mertenslemi1  12280  sinltxirr  12506  cos12dec  12513  dvdslelemd  12588  divalglemnn  12663  divalglemeuneg  12668  bitsfzo  12700  bitsmod  12701  lcmgcdlem  12833  isprm5lem  12897  znege1  12934  sqrt2irraplemnn  12935  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  4sqlem7  13141  ballotfilemonn  13199  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemimin  13227  ballotfilemsgt1  13232  ballotfilemfrcn0  13251  ennnfonelemex  13283  strleund  13434  suplociccreex  15648  ivthinclemlm  15658  ivthinclemum  15659  ivthinclemlopn  15660  ivthinclemuopn  15662  ivthdec  15668  hoverlt1  15673  hovergt0  15674  dveflem  15750  efltlemlt  15798  sin0pilem1  15805  sin0pilem2  15806  coseq0negpitopi  15860  tangtx  15862  cosq34lt1  15874  cos02pilt1  15875  pellexlem2  16006  lgseisenlem1  16103  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  apdifflemf  17000