Theorem ltled 8140

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873   < clt 8056   ≤ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8141  addgt0d  8542  lt2addd  8588  lt2msq1  8906  lediv12a  8915  ledivp1  8924  nn2ge  9017  fznatpl1  10145  exbtwnzlemex  10321  apbtwnz  10346  iseqf1olemkle  10571  expnbnd  10737  nn0ltexp2  10783  iswrdiz  10924  cvg1nlemres  11132  resqrexlemnm  11165  resqrexlemcvg  11166  resqrexlemglsq  11169  sqrtgt0  11181  leabs  11221  ltabs  11234  abslt  11235  absle  11236  maxabslemab  11353  2zsupmax  11372  2zinfmin  11389  xrmaxiflemab  11393  fsum3cvg3  11542  divcnv  11643  expcnvre  11649  absltap  11655  cvgratnnlemnexp  11670  cvgratnnlemmn  11671  cvgratnnlemfm  11675  mertenslemi1  11681  sinltxirr  11907  cos12dec  11914  dvdslelemd  11988  divalglemnn  12062  divalglemeuneg  12067  lcmgcdlem  12218  isprm5lem  12282  znege1  12319  sqrt2irraplemnn  12320  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  4sqlem7  12525  ennnfonelemex  12574  strleund  12724  suplociccreex  14803  ivthinclemlm  14813  ivthinclemum  14814  ivthinclemlopn  14815  ivthinclemuopn  14817  ivthdec  14823  hoverlt1  14828  hovergt0  14829  dveflem  14905  efltlemlt  14950  sin0pilem1  14957  sin0pilem2  14958  coseq0negpitopi  15012  tangtx  15014  cosq34lt1  15026  cos02pilt1  15027  lgseisenlem1  15227  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  lgsquadlem3  15236  apdifflemf  15606