Theorem ltled 7881

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 7851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ℝcr 7619   < clt 7800   ≤ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7882  addgt0d  8283  lt2addd  8329  lt2msq1  8643  lediv12a  8652  ledivp1  8661  nn2ge  8753  fznatpl1  9856  exbtwnzlemex  10027  apbtwnz  10047  iseqf1olemkle  10257  expnbnd  10415  cvg1nlemres  10757  resqrexlemnm  10790  resqrexlemcvg  10791  resqrexlemglsq  10794  sqrtgt0  10806  leabs  10846  ltabs  10859  abslt  10860  absle  10861  maxabslemab  10978  2zsupmax  10997  xrmaxiflemab  11016  fsum3cvg3  11165  divcnv  11266  expcnvre  11272  absltap  11278  cvgratnnlemnexp  11293  cvgratnnlemmn  11294  cvgratnnlemfm  11298  mertenslemi1  11304  cos12dec  11474  dvdslelemd  11541  divalglemnn  11615  divalglemeuneg  11620  lcmgcdlem  11758  znege1  11856  sqrt2irraplemnn  11857  ennnfonelemex  11927  strleund  12047  suplociccreex  12771  ivthinclemlm  12781  ivthinclemum  12782  ivthinclemlopn  12783  ivthinclemuopn  12785  ivthdec  12791  dveflem  12855  sin0pilem1  12862  sin0pilem2  12863  coseq0negpitopi  12917  tangtx  12919  cosq34lt1  12931  cos02pilt1  12932