Theorem ltled 8164

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8165  addgt0d  8567  lt2addd  8613  lt2msq1  8931  lediv12a  8940  ledivp1  8949  nn2ge  9042  fznatpl1  10170  exbtwnzlemex  10358  apbtwnz  10383  iseqf1olemkle  10608  expnbnd  10774  nn0ltexp2  10820  iswrdiz  10961  cvg1nlemres  11169  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemglsq  11206  sqrtgt0  11218  leabs  11258  ltabs  11271  abslt  11272  absle  11273  maxabslemab  11390  2zsupmax  11410  2zinfmin  11427  xrmaxiflemab  11431  fsum3cvg3  11580  divcnv  11681  expcnvre  11687  absltap  11693  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemmn  11709  cvgratnnlemfm  11713  mertenslemi1  11719  sinltxirr  11945  cos12dec  11952  dvdslelemd  12027  divalglemnn  12102  divalglemeuneg  12107  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  lcmgcdlem  12272  isprm5lem  12336  znege1  12373  sqrt2irraplemnn  12374  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  4sqlem7  12580  ennnfonelemex  12658  strleund  12808  suplociccreex  14968  ivthinclemlm  14978  ivthinclemum  14979  ivthinclemlopn  14980  ivthinclemuopn  14982  ivthdec  14988  hoverlt1  14993  hovergt0  14994  dveflem  15070  efltlemlt  15118  sin0pilem1  15125  sin0pilem2  15126  coseq0negpitopi  15180  tangtx  15182  cosq34lt1  15194  cos02pilt1  15195  lgseisenlem1  15419  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  apdifflemf  15803