Theorem ltled 8076

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810   < clt 7992   ≤ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8077  addgt0d  8478  lt2addd  8524  lt2msq1  8842  lediv12a  8851  ledivp1  8860  nn2ge  8952  fznatpl1  10076  exbtwnzlemex  10250  apbtwnz  10274  iseqf1olemkle  10484  expnbnd  10644  nn0ltexp2  10689  cvg1nlemres  10994  resqrexlemnm  11027  resqrexlemcvg  11028  resqrexlemglsq  11031  sqrtgt0  11043  leabs  11083  ltabs  11096  abslt  11097  absle  11098  maxabslemab  11215  2zsupmax  11234  2zinfmin  11251  xrmaxiflemab  11255  fsum3cvg3  11404  divcnv  11505  expcnvre  11511  absltap  11517  cvgratnnlemnexp  11532  cvgratnnlemmn  11533  cvgratnnlemfm  11537  mertenslemi1  11543  cos12dec  11775  dvdslelemd  11849  divalglemnn  11923  divalglemeuneg  11928  lcmgcdlem  12077  isprm5lem  12141  znege1  12178  sqrt2irraplemnn  12179  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  4sqlem7  12382  ennnfonelemex  12415  strleund  12562  suplociccreex  14105  ivthinclemlm  14115  ivthinclemum  14116  ivthinclemlopn  14117  ivthinclemuopn  14119  ivthdec  14125  dveflem  14190  efltlemlt  14198  sin0pilem1  14205  sin0pilem2  14206  coseq0negpitopi  14260  tangtx  14262  cosq34lt1  14274  cos02pilt1  14275  lgseisenlem1  14453  apdifflemf  14797