Theorem ltled 8038

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773   < clt 7954   ≤ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8039  addgt0d  8440  lt2addd  8486  lt2msq1  8801  lediv12a  8810  ledivp1  8819  nn2ge  8911  fznatpl1  10032  exbtwnzlemex  10206  apbtwnz  10230  iseqf1olemkle  10440  expnbnd  10599  nn0ltexp2  10644  cvg1nlemres  10949  resqrexlemnm  10982  resqrexlemcvg  10983  resqrexlemglsq  10986  sqrtgt0  10998  leabs  11038  ltabs  11051  abslt  11052  absle  11053  maxabslemab  11170  2zsupmax  11189  2zinfmin  11206  xrmaxiflemab  11210  fsum3cvg3  11359  divcnv  11460  expcnvre  11466  absltap  11472  cvgratnnlemnexp  11487  cvgratnnlemmn  11488  cvgratnnlemfm  11492  mertenslemi1  11498  cos12dec  11730  dvdslelemd  11803  divalglemnn  11877  divalglemeuneg  11882  lcmgcdlem  12031  isprm5lem  12095  znege1  12132  sqrt2irraplemnn  12133  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  4sqlem7  12336  ennnfonelemex  12369  strleund  12506  suplociccreex  13396  ivthinclemlm  13406  ivthinclemum  13407  ivthinclemlopn  13408  ivthinclemuopn  13410  ivthdec  13416  dveflem  13481  efltlemlt  13489  sin0pilem1  13496  sin0pilem2  13497  coseq0negpitopi  13551  tangtx  13553  cosq34lt1  13565  cos02pilt1  13566  apdifflemf  14078