Theorem ltled 8408

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324   ≤ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8409  addgt0d  8812  lt2addd  8858  lt2msq1  9176  lediv12a  9185  ledivp1  9194  nn2ge  9287  fznatpl1  10432  exbtwnzlemex  10633  apbtwnz  10658  iseqf1olemkle  10883  expnbnd  11050  nn0ltexp2  11096  bcm1n  11156  iswrdiz  11256  cvg1nlemres  11695  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemglsq  11732  sqrtgt0  11744  leabs  11784  ltabs  11797  abslt  11798  absle  11799  maxabslemab  11916  2zsupmax  11936  2zinfmin  11953  xrmaxiflemab  11957  fsum3cvg3  12107  divcnv  12208  expcnvre  12214  absltap  12220  cvgratnnlemnexp  12235  cvgratnnlemmn  12236  cvgratnnlemfm  12240  mertenslemi1  12246  sinltxirr  12472  cos12dec  12479  dvdslelemd  12554  divalglemnn  12629  divalglemeuneg  12634  bitsfzo  12666  bitsmod  12667  lcmgcdlem  12799  isprm5lem  12863  znege1  12900  sqrt2irraplemnn  12901  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  4sqlem7  13107  ballotfilemonn  13165  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  ballotfilemimin  13193  ballotfilemsgt1  13198  ballotfilemfrcn0  13217  ennnfonelemex  13249  strleund  13400  suplociccreex  15615  ivthinclemlm  15625  ivthinclemum  15626  ivthinclemlopn  15627  ivthinclemuopn  15629  ivthdec  15635  hoverlt1  15640  hovergt0  15641  dveflem  15717  efltlemlt  15765  sin0pilem1  15772  sin0pilem2  15773  coseq0negpitopi  15827  tangtx  15829  cosq34lt1  15841  cos02pilt1  15842  pellexlem2  15972  lgseisenlem1  16069  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  apdifflemf  16956