Theorem ltled 8211

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ℝcr 7944   < clt 8127   ≤ cle 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8212  addgt0d  8614  lt2addd  8660  lt2msq1  8978  lediv12a  8987  ledivp1  8996  nn2ge  9089  fznatpl1  10218  exbtwnzlemex  10414  apbtwnz  10439  iseqf1olemkle  10664  expnbnd  10830  nn0ltexp2  10876  iswrdiz  11023  cvg1nlemres  11371  resqrexlemnm  11404  resqrexlemcvg  11405  resqrexlemglsq  11408  sqrtgt0  11420  leabs  11460  ltabs  11473  abslt  11474  absle  11475  maxabslemab  11592  2zsupmax  11612  2zinfmin  11629  xrmaxiflemab  11633  fsum3cvg3  11782  divcnv  11883  expcnvre  11889  absltap  11895  cvgratnnlemnexp  11910  cvgratnnlemmn  11911  cvgratnnlemfm  11915  mertenslemi1  11921  sinltxirr  12147  cos12dec  12154  dvdslelemd  12229  divalglemnn  12304  divalglemeuneg  12309  bitsfzo  12341  bitsmod  12342  lcmgcdlem  12474  isprm5lem  12538  znege1  12575  sqrt2irraplemnn  12576  eulerthlemrprm  12626  eulerthlema  12627  4sqlem7  12782  ennnfonelemex  12860  strleund  13010  suplociccreex  15171  ivthinclemlm  15181  ivthinclemum  15182  ivthinclemlopn  15183  ivthinclemuopn  15185  ivthdec  15191  hoverlt1  15196  hovergt0  15197  dveflem  15273  efltlemlt  15321  sin0pilem1  15328  sin0pilem2  15329  coseq0negpitopi  15383  tangtx  15385  cosq34lt1  15397  cos02pilt1  15398  lgseisenlem1  15622  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  lgsquadlem3  15631  apdifflemf  16126