Theorem ltled 7988

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 7958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℝcr 7725   < clt 7906   ≤ cle 7907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-lttrn 7840

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-cnv 4593  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7989  addgt0d  8390  lt2addd  8436  lt2msq1  8750  lediv12a  8759  ledivp1  8768  nn2ge  8860  fznatpl1  9971  exbtwnzlemex  10142  apbtwnz  10166  iseqf1olemkle  10376  expnbnd  10534  cvg1nlemres  10878  resqrexlemnm  10911  resqrexlemcvg  10912  resqrexlemglsq  10915  sqrtgt0  10927  leabs  10967  ltabs  10980  abslt  10981  absle  10982  maxabslemab  11099  2zsupmax  11118  xrmaxiflemab  11137  fsum3cvg3  11286  divcnv  11387  expcnvre  11393  absltap  11399  cvgratnnlemnexp  11414  cvgratnnlemmn  11415  cvgratnnlemfm  11419  mertenslemi1  11425  cos12dec  11657  dvdslelemd  11727  divalglemnn  11801  divalglemeuneg  11806  lcmgcdlem  11945  znege1  12043  sqrt2irraplemnn  12044  eulerthlemrprm  12092  eulerthlema  12093  ennnfonelemex  12126  strleund  12249  suplociccreex  12973  ivthinclemlm  12983  ivthinclemum  12984  ivthinclemlopn  12985  ivthinclemuopn  12987  ivthdec  12993  dveflem  13058  efltlemlt  13066  sin0pilem1  13073  sin0pilem2  13074  coseq0negpitopi  13128  tangtx  13130  cosq34lt1  13142  cos02pilt1  13143  apdifflemf  13588