Theorem ltled 8392

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126   < clt 8308   ≤ cle 8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8393  addgt0d  8795  lt2addd  8841  lt2msq1  9159  lediv12a  9168  ledivp1  9177  nn2ge  9270  fznatpl1  10410  exbtwnzlemex  10609  apbtwnz  10634  iseqf1olemkle  10859  expnbnd  11025  nn0ltexp2  11071  bcm1n  11131  iswrdiz  11231  cvg1nlemres  11670  resqrexlemnm  11703  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemglsq  11707  sqrtgt0  11719  leabs  11759  ltabs  11772  abslt  11773  absle  11774  maxabslemab  11891  2zsupmax  11911  2zinfmin  11928  xrmaxiflemab  11932  fsum3cvg3  12082  divcnv  12183  expcnvre  12189  absltap  12195  cvgratnnlemnexp  12210  cvgratnnlemmn  12211  cvgratnnlemfm  12215  mertenslemi1  12221  sinltxirr  12447  cos12dec  12454  dvdslelemd  12529  divalglemnn  12604  divalglemeuneg  12609  bitsfzo  12641  bitsmod  12642  lcmgcdlem  12774  isprm5lem  12838  znege1  12875  sqrt2irraplemnn  12876  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  4sqlem7  13082  ballotfilemonn  13140  ennnfonelemex  13165  strleund  13316  suplociccreex  15489  ivthinclemlm  15499  ivthinclemum  15500  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemuopn  15503  ivthdec  15509  hoverlt1  15514  hovergt0  15515  dveflem  15591  efltlemlt  15639  sin0pilem1  15646  sin0pilem2  15647  coseq0negpitopi  15701  tangtx  15703  cosq34lt1  15715  cos02pilt1  15716  pellexlem2  15846  lgseisenlem1  15943  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  lgsquadlem3  15952  apdifflemf  16830