Theorem ltled 8340

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8256   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8341  addgt0d  8743  lt2addd  8789  lt2msq1  9107  lediv12a  9116  ledivp1  9125  nn2ge  9218  fznatpl1  10356  exbtwnzlemex  10555  apbtwnz  10580  iseqf1olemkle  10805  expnbnd  10971  nn0ltexp2  11017  iswrdiz  11169  cvg1nlemres  11608  resqrexlemnm  11641  resqrexlemcvg  11642  resqrexlemglsq  11645  sqrtgt0  11657  leabs  11697  ltabs  11710  abslt  11711  absle  11712  maxabslemab  11829  2zsupmax  11849  2zinfmin  11866  xrmaxiflemab  11870  fsum3cvg3  12020  divcnv  12121  expcnvre  12127  absltap  12133  cvgratnnlemnexp  12148  cvgratnnlemmn  12149  cvgratnnlemfm  12153  mertenslemi1  12159  sinltxirr  12385  cos12dec  12392  dvdslelemd  12467  divalglemnn  12542  divalglemeuneg  12547  bitsfzo  12579  bitsmod  12580  lcmgcdlem  12712  isprm5lem  12776  znege1  12813  sqrt2irraplemnn  12814  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  4sqlem7  13020  ennnfonelemex  13098  strleund  13249  suplociccreex  15418  ivthinclemlm  15428  ivthinclemum  15429  ivthinclemlopn  15430  ivthinclemuopn  15432  ivthdec  15438  hoverlt1  15443  hovergt0  15444  dveflem  15520  efltlemlt  15568  sin0pilem1  15575  sin0pilem2  15576  coseq0negpitopi  15630  tangtx  15632  cosq34lt1  15644  cos02pilt1  15645  pellexlem2  15775  lgseisenlem1  15872  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  lgsquadlem3  15881  apdifflemf  16761