Theorem ltled 8297

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213   ≤ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8298  addgt0d  8700  lt2addd  8746  lt2msq1  9064  lediv12a  9073  ledivp1  9082  nn2ge  9175  fznatpl1  10310  exbtwnzlemex  10508  apbtwnz  10533  iseqf1olemkle  10758  expnbnd  10924  nn0ltexp2  10970  iswrdiz  11119  cvg1nlemres  11545  resqrexlemnm  11578  resqrexlemcvg  11579  resqrexlemglsq  11582  sqrtgt0  11594  leabs  11634  ltabs  11647  abslt  11648  absle  11649  maxabslemab  11766  2zsupmax  11786  2zinfmin  11803  xrmaxiflemab  11807  fsum3cvg3  11956  divcnv  12057  expcnvre  12063  absltap  12069  cvgratnnlemnexp  12084  cvgratnnlemmn  12085  cvgratnnlemfm  12089  mertenslemi1  12095  sinltxirr  12321  cos12dec  12328  dvdslelemd  12403  divalglemnn  12478  divalglemeuneg  12483  bitsfzo  12515  bitsmod  12516  lcmgcdlem  12648  isprm5lem  12712  znege1  12749  sqrt2irraplemnn  12750  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  4sqlem7  12956  ennnfonelemex  13034  strleund  13185  suplociccreex  15347  ivthinclemlm  15357  ivthinclemum  15358  ivthinclemlopn  15359  ivthinclemuopn  15361  ivthdec  15367  hoverlt1  15372  hovergt0  15373  dveflem  15449  efltlemlt  15497  sin0pilem1  15504  sin0pilem2  15505  coseq0negpitopi  15559  tangtx  15561  cosq34lt1  15573  cos02pilt1  15574  lgseisenlem1  15798  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  lgsquadlem3  15807  apdifflemf  16650