Theorem ltled 8173

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7906   < clt 8089   ≤ cle 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8174  addgt0d  8576  lt2addd  8622  lt2msq1  8940  lediv12a  8949  ledivp1  8958  nn2ge  9051  fznatpl1  10180  exbtwnzlemex  10373  apbtwnz  10398  iseqf1olemkle  10623  expnbnd  10789  nn0ltexp2  10835  iswrdiz  10976  cvg1nlemres  11215  resqrexlemnm  11248  resqrexlemcvg  11249  resqrexlemglsq  11252  sqrtgt0  11264  leabs  11304  ltabs  11317  abslt  11318  absle  11319  maxabslemab  11436  2zsupmax  11456  2zinfmin  11473  xrmaxiflemab  11477  fsum3cvg3  11626  divcnv  11727  expcnvre  11733  absltap  11739  cvgratnnlemnexp  11754  cvgratnnlemmn  11755  cvgratnnlemfm  11759  mertenslemi1  11765  sinltxirr  11991  cos12dec  11998  dvdslelemd  12073  divalglemnn  12148  divalglemeuneg  12153  bitsfzo  12185  bitsmod  12186  lcmgcdlem  12318  isprm5lem  12382  znege1  12419  sqrt2irraplemnn  12420  eulerthlemrprm  12470  eulerthlema  12471  4sqlem7  12626  ennnfonelemex  12704  strleund  12854  suplociccreex  15014  ivthinclemlm  15024  ivthinclemum  15025  ivthinclemlopn  15026  ivthinclemuopn  15028  ivthdec  15034  hoverlt1  15039  hovergt0  15040  dveflem  15116  efltlemlt  15164  sin0pilem1  15171  sin0pilem2  15172  coseq0negpitopi  15226  tangtx  15228  cosq34lt1  15240  cos02pilt1  15241  lgseisenlem1  15465  lgsquadlem1  15472  lgsquadlem2  15473  lgsquadlem3  15474  apdifflemf  15849