Theorem elpmg 6720

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpmg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmvalg 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
2	1	eleq2d 2263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3		funeq 5275	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
4	3	elrab 2917	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
5	2, 4	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
6		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)))
7	5, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
8		elex 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
10		xpexg 4774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
11	10	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
12		ssexg 4169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
13	12	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
14	11, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
15		elpwg 3610	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
16	15	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
17	9, 14, 16	pm5.21ndd 706	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
18	17	anbi2d 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
19	7, 18	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602   × cxp 4658  Fun wfun 5249  (class class class)co 5919   ↑_pm cpm 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pm 6707

This theorem is referenced by:  elpm2g  6721  pmss12g  6731  elpm  6735  pmsspw  6739  ennnfonelemj0  12561  lmfss  14423