Theorem elpmg 6898

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpmg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmvalg 6893	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
2	1	eleq2d 2302	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3		funeq 5372	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
4	3	elrab 2973	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
5	2, 4	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
6		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)))
7	5, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
8		elex 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
10		xpexg 4864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
11	10	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
12		ssexg 4249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
13	12	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
14	11, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
15		elpwg 3677	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
16	15	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
17	9, 14, 16	pm5.21ndd 713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
18	17	anbi2d 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
19	7, 18	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  {crab 2524  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669   × cxp 4747  Fun wfun 5346  (class class class)co 6050   ↑_pm cpm 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pm 6885

This theorem is referenced by:  elpm2g  6899  pmss12g  6909  elpm  6913  pmsspw  6917  ennnfonelemj0  13152  lmfss  15109