ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpmg GIF version

Theorem elpmg 6642
Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpmg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmvalg 6637 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
21eleq2d 2240 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3 funeq 5218 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
43elrab 2886 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
52, 4bitrdi 195 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
6 ancom 264 . . 3 ((𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)))
75, 6bitrdi 195 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
8 elex 2741 . . . . 5 (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
98a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
10 xpexg 4725 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
1110ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
12 ssexg 4128 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
1312expcom 115 . . . . 5 ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
1411, 13syl 14 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
15 elpwg 3574 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1615a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
179, 14, 16pm5.21ndd 700 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1817anbi2d 461 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
197, 18bitrd 187 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2141  {crab 2452  Vcvv 2730  wss 3121  𝒫 cpw 3566   × cxp 4609  Fun wfun 5192  (class class class)co 5853  pm cpm 6627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pm 6629
This theorem is referenced by:  elpm2g  6643  pmss12g  6653  elpm  6657  pmsspw  6661  ennnfonelemj0  12356  lmfss  13038
  Copyright terms: Public domain W3C validator