Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpmg GIF version

Theorem elpmg 6567
 Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpmg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmvalg 6562 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
21eleq2d 2210 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3 funeq 5152 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
43elrab 2845 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
52, 4syl6bb 195 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
6 ancom 264 . . 3 ((𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)))
75, 6syl6bb 195 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
8 elex 2701 . . . . 5 (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
98a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
10 xpexg 4662 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
1110ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
12 ssexg 4076 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
1312expcom 115 . . . . 5 ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
1411, 13syl 14 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
15 elpwg 3524 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1615a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
179, 14, 16pm5.21ndd 695 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1817anbi2d 460 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
197, 18bitrd 187 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  {crab 2421  Vcvv 2690   ⊆ wss 3077  𝒫 cpw 3516   × cxp 4546  Fun wfun 5126  (class class class)co 5783   ↑pm cpm 6552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pm 6554 This theorem is referenced by:  elpm2g  6568  pmss12g  6578  elpm  6582  pmsspw  6586  ennnfonelemj0  11970  lmfss  12472
 Copyright terms: Public domain W3C validator