Theorem mulid2 7930

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 7929 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7879	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 7915	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 7929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2208	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  1c1 7787   · cmul 7791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-mulcl 7884  ax-mulcom 7887  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-1rid 7893  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-iota 5170  df-fv 5216  df-ov 5868

This theorem is referenced by:  mulid2i  7935  mulid2d  7950  muladd11  8064  1p1times  8065  mulm1  8331  div1  8633  recdivap  8648  divdivap2  8654  conjmulap  8659  expp1  10497  recan  11086  arisum  11474  geo2sum  11490  prodrbdclem  11547  prodmodclem2a  11552  demoivreALT  11749  gcdadd  11953  gcdid  11954