Theorem mulid2 7897

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 7896 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7846	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 7882	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 7896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  1c1 7754   · cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851  ax-mulcom 7854  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-1rid 7860  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  mulid2i  7902  mulid2d  7917  muladd11  8031  1p1times  8032  mulm1  8298  div1  8599  recdivap  8614  divdivap2  8620  conjmulap  8625  expp1  10462  recan  11051  arisum  11439  geo2sum  11455  prodrbdclem  11512  prodmodclem2a  11517  demoivreALT  11714  gcdadd  11918  gcdid  11919