Theorem mulid2 7855

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 7854 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7804	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 7840	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 7854	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2187	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  1c1 7712   · cmul 7716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-mulcl 7809  ax-mulcom 7812  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-1rid 7818  ax-cnre 7822

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-iota 5128  df-fv 5171  df-ov 5817

This theorem is referenced by:  mulid2i  7860  mulid2d  7875  muladd11  7987  1p1times  7988  mulm1  8254  div1  8555  recdivap  8570  divdivap2  8576  conjmulap  8581  expp1  10404  recan  10986  arisum  11372  geo2sum  11388  prodrbdclem  11445  prodmodclem2a  11450  demoivreALT  11647  gcdadd  11841  gcdid  11842