Theorem geo2sum 11315

Description: The value of the finite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... + 2↑-𝑁, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9105	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9097	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simplr 520	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2nn 8905	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		elfznn 9865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 9054	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		nnexpcl 10337	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
10	5, 8, 9	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8758	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 8790	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) # 0)
13	4, 11, 12	divclapd 8574	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
14		oveq2 5790	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑗 + 1)))
15	14	oveq2d 5798	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 11246	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
17		1m1e0 8813	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
18	17	oveq1i 5792	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
19	18	sumeq1i 11164	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1)))
20		halfcn 8958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
21		elfznn0 9925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		expcl 10342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
24	20, 22, 23	sylancr 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
25		2cnd 8817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℂ)
26		2ap0 8837	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 # 0)
28	24, 25, 27	divrecapd 8577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) / 2) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
29		expp1 10331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
30	20, 22, 29	sylancr 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
31		elfzelz 9837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
32	31	peano2zd 9200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
33	32	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
34	25, 27, 33	exprecapd 10463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (1 / (2↑(𝑗 + 1))))
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) / 2))
36	35	oveq2d 5798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
37		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		peano2nn0 9041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40		nnexpcl 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
41	5, 39, 40	sylancr 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 8758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
43	41	nnap0d 8790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) # 0)
44	37, 42, 43	divrecapd 8577	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))))
45	24, 37, 25, 27	div12apd 8611	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2183	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
47	46	sumeq2dv 11169	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
48		0zd 9090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
49	3, 1	zsubcld 9202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	fzfigd 10235	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
51		halfcl 8970	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
52	51	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
53	50, 52, 24	fsummulc1 11250	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
54	47, 53	eqtr4d 2176	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
55	19, 54	syl5eq 2185	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
56		2cnd 8817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 # 0)
58	56, 57, 3	exprecapd 10463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 2)↑𝑁) = (1 / (2↑𝑁)))
59	58	oveq2d 5798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − ((1 / 2)↑𝑁)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
60		1mhlfehlf 8962	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
61	60	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
62	59, 61	oveq12d 5800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)))
63		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63, 56, 57	divrecap2d 8578	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
65	62, 64	oveq12d 5800	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
66		ax-1cn 7737	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		nnnn0 9008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	67	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
69		nnexpcl 10337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
70	5, 68, 69	sylancr 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
71	70	nnrecred 8791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 7818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
73		subcl 7985	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
74	66, 72, 73	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
75	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76	56, 57	recap0d 8566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 0)
77	74, 75, 76	divclapd 8574	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) ∈ ℂ)
78	77, 75, 63	mulassd 7813	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
79	74, 75, 76	divcanap1d 8575	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
80	79	oveq1d 5797	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2179	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
82		halfre 8957	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
83		1re 7789	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
84		halflt1 8961	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8421	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 1)
87	75, 86, 68	geoserap 11308	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) = ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))))
88	87	oveq1d 5797	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)))
89		mulid2 7788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
90	89	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
92	70	nncnd 8758	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
93	70	nnap0d 8790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) # 0)
94	63, 92, 93	divrecap2d 8578	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) = ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴))
95	91, 94	oveq12d 5800	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
96	66	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97	96, 72, 63	subdird 8201	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
98	95, 97	eqtr4d 2176	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2183	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
100	16, 55, 99	3eqtrd 2177	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   − cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  ...cfz 9821  ↑cexp 10323  Σcsu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  geo2lim  11317  trilpolemlt1  13409