Theorem geo2sum 11660

Description: The value of the finite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... + 2↑-𝑁, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9347	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9339	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2nn 9146	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		elfznn 10123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 9296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		nnexpcl 10626	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8998	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 9030	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) # 0)
13	4, 11, 12	divclapd 8811	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
14		oveq2 5927	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑗 + 1)))
15	14	oveq2d 5935	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 11591	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
17		1m1e0 9053	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
18	17	oveq1i 5929	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
19	18	sumeq1i 11509	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1)))
20		halfcn 9199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
21		elfznn0 10183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		expcl 10631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
24	20, 22, 23	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
25		2cnd 9057	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℂ)
26		2ap0 9077	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 # 0)
28	24, 25, 27	divrecapd 8814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) / 2) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
29		expp1 10620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
30	20, 22, 29	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
31		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
32	31	peano2zd 9445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
34	25, 27, 33	exprecapd 10755	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (1 / (2↑(𝑗 + 1))))
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) / 2))
36	35	oveq2d 5935	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
37		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40		nnexpcl 10626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
41	5, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 8998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
43	41	nnap0d 9030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) # 0)
44	37, 42, 43	divrecapd 8814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))))
45	24, 37, 25, 27	div12apd 8848	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2236	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
47	46	sumeq2dv 11514	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
48		0zd 9332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
49	3, 1	zsubcld 9447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	fzfigd 10505	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
51		halfcl 9211	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
52	51	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
53	50, 52, 24	fsummulc1 11595	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
54	47, 53	eqtr4d 2229	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
55	19, 54	eqtrid 2238	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
56		2cnd 9057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 # 0)
58	56, 57, 3	exprecapd 10755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 2)↑𝑁) = (1 / (2↑𝑁)))
59	58	oveq2d 5935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − ((1 / 2)↑𝑁)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
60		1mhlfehlf 9203	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
61	60	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
62	59, 61	oveq12d 5937	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)))
63		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63, 56, 57	divrecap2d 8815	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
65	62, 64	oveq12d 5937	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
66		ax-1cn 7967	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		nnnn0 9250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
69		nnexpcl 10626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
70	5, 68, 69	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
71	70	nnrecred 9031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
73		subcl 8220	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
75	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76	56, 57	recap0d 8803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 0)
77	74, 75, 76	divclapd 8811	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) ∈ ℂ)
78	77, 75, 63	mulassd 8045	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
79	74, 75, 76	divcanap1d 8812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
80	79	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
82		halfre 9198	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
83		1re 8020	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
84		halflt1 9202	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8656	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 1)
87	75, 86, 68	geoserap 11653	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) = ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))))
88	87	oveq1d 5934	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)))
89		mullid 8019	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
90	89	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
92	70	nncnd 8998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
93	70	nnap0d 9030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) # 0)
94	63, 92, 93	divrecap2d 8815	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) = ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴))
95	91, 94	oveq12d 5937	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
96	66	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97	96, 72, 63	subdird 8436	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
98	95, 97	eqtr4d 2229	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
100	16, 55, 99	3eqtrd 2230	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   − cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ...cfz 10077  ↑cexp 10612  Σcsu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  geo2lim  11662  trilpolemlt1  15601