Theorem geo2sum 11940

Description: The value of the finite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... + 2↑-𝑁, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9434	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2nn 9233	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		elfznn 10211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 9383	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		nnexpcl 10734	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 9085	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 9117	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) # 0)
13	4, 11, 12	divclapd 8898	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
14		oveq2 5975	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑗 + 1)))
15	14	oveq2d 5983	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 11871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
17		1m1e0 9140	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
18	17	oveq1i 5977	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
19	18	sumeq1i 11789	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1)))
20		halfcn 9286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
21		elfznn0 10271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		expcl 10739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
24	20, 22, 23	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
25		2cnd 9144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℂ)
26		2ap0 9164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 # 0)
28	24, 25, 27	divrecapd 8901	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) / 2) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
29		expp1 10728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
30	20, 22, 29	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
31		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
32	31	peano2zd 9533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
34	25, 27, 33	exprecapd 10863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (1 / (2↑(𝑗 + 1))))
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) / 2))
36	35	oveq2d 5983	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
37		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		peano2nn0 9370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40		nnexpcl 10734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
41	5, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 9085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
43	41	nnap0d 9117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) # 0)
44	37, 42, 43	divrecapd 8901	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))))
45	24, 37, 25, 27	div12apd 8935	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2250	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
47	46	sumeq2dv 11794	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
48		0zd 9419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
49	3, 1	zsubcld 9535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	fzfigd 10613	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
51		halfcl 9298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
52	51	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
53	50, 52, 24	fsummulc1 11875	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
54	47, 53	eqtr4d 2243	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
55	19, 54	eqtrid 2252	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
56		2cnd 9144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 # 0)
58	56, 57, 3	exprecapd 10863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 2)↑𝑁) = (1 / (2↑𝑁)))
59	58	oveq2d 5983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − ((1 / 2)↑𝑁)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
60		1mhlfehlf 9290	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
61	60	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
62	59, 61	oveq12d 5985	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)))
63		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63, 56, 57	divrecap2d 8902	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
65	62, 64	oveq12d 5985	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
66		ax-1cn 8053	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		nnnn0 9337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
69		nnexpcl 10734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
70	5, 68, 69	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
71	70	nnrecred 9118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 8136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
73		subcl 8306	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
75	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76	56, 57	recap0d 8890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 0)
77	74, 75, 76	divclapd 8898	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) ∈ ℂ)
78	77, 75, 63	mulassd 8131	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
79	74, 75, 76	divcanap1d 8899	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
80	79	oveq1d 5982	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2246	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
82		halfre 9285	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
83		1re 8106	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
84		halflt1 9289	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8743	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 1)
87	75, 86, 68	geoserap 11933	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) = ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))))
88	87	oveq1d 5982	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)))
89		mullid 8105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
90	89	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2213	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
92	70	nncnd 9085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
93	70	nnap0d 9117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) # 0)
94	63, 92, 93	divrecap2d 8902	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) = ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴))
95	91, 94	oveq12d 5985	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
96	66	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97	96, 72, 63	subdird 8522	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
98	95, 97	eqtr4d 2243	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2250	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
100	16, 55, 99	3eqtrd 2244	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965   − cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780  ℕcn 9071  2c2 9122  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ...cfz 10165  ↑cexp 10720  Σcsu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  geo2lim  11942  trilpolemlt1  16182