Theorem geo2sum 12259

Description: The value of the finite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... + 2↑-𝑁, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9650	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9642	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2nn 9445	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		elfznn 10438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 9599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		nnexpcl 10967	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
10	5, 8, 9	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 9297	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 9329	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) # 0)
13	4, 11, 12	divclapd 9110	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
14		oveq2 6083	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑗 + 1)))
15	14	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 12190	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
17		1m1e0 9352	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
18	17	oveq1i 6085	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
19	18	sumeq1i 12107	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1)))
20		halfcn 9498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
21		elfznn0 10499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		expcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
24	20, 22, 23	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
25		2cnd 9356	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℂ)
26		2ap0 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 # 0)
28	24, 25, 27	divrecapd 9113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) / 2) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
29		expp1 10961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
30	20, 22, 29	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
31		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
32	31	peano2zd 9750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
34	25, 27, 33	exprecapd 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (1 / (2↑(𝑗 + 1))))
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) / 2))
36	35	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
37		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40		nnexpcl 10967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
41	5, 39, 40	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 9297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
43	41	nnap0d 9329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) # 0)
44	37, 42, 43	divrecapd 9113	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))))
45	24, 37, 25, 27	div12apd 9147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2281	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
47	46	sumeq2dv 12112	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
48		0zd 9635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
49	3, 1	zsubcld 9752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	fzfigd 10846	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
51		halfcl 9510	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
52	51	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
53	50, 52, 24	fsummulc1 12194	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
54	47, 53	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
55	19, 54	eqtrid 2283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
56		2cnd 9356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 # 0)
58	56, 57, 3	exprecapd 11097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 2)↑𝑁) = (1 / (2↑𝑁)))
59	58	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − ((1 / 2)↑𝑁)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
60		1mhlfehlf 9502	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
61	60	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
62	59, 61	oveq12d 6093	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)))
63		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63, 56, 57	divrecap2d 9114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
65	62, 64	oveq12d 6093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
66		ax-1cn 8262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		nnnn0 9549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
69		nnexpcl 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
70	5, 68, 69	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
71	70	nnrecred 9330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 8344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
73		subcl 8515	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
74	66, 72, 73	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
75	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76	56, 57	recap0d 9102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 0)
77	74, 75, 76	divclapd 9110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) ∈ ℂ)
78	77, 75, 63	mulassd 8339	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
79	74, 75, 76	divcanap1d 9111	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
80	79	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
82		halfre 9497	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
83		1re 8315	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
84		halflt1 9501	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8953	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) # 1)
87	75, 86, 68	geoserap 12252	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) = ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))))
88	87	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)))
89		mullid 8314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
90	89	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
92	70	nncnd 9297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
93	70	nnap0d 9329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) # 0)
94	63, 92, 93	divrecap2d 9114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) = ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴))
95	91, 94	oveq12d 6093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
96	66	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97	96, 72, 63	subdird 8732	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
98	95, 97	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2281	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
100	16, 55, 99	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   − cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ↑cexp 10953  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  geo2lim  12261  trilpolemlt1  16995