Theorem recdivap 8081

Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recdivap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem recdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1div1e1 8067	. . . 4 ⊢ (1 / 1) = 1
2	1	oveq1i 5599	. . 3 ⊢ ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐴 / 𝐵))
3		ax-1cn 7339	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1ap0 7965	. . . . 5 ⊢ 1 # 0
5	3, 4	pm3.2i 266	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0)
6		divdivdivap 8076	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0)) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
7	3, 5, 6	mpanl12 427	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
8	2, 7	syl5eqr 2129	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
9		mulid2 7387	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
10		mulid2 7387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	9, 10	oveqan12rd 5609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
12	11	ad2ant2r 493	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
13	8, 12	eqtrd 2115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  ℂcc 7249  0cc0 7251  1c1 7252   · cmul 7256   # cap 7956   / cdiv 8035

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036

This theorem is referenced by:  divcanap6  8082  recdivapd  8169