![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > recdivap | GIF version |
Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
recdivap | โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1div1e1 8674 | . . . 4 โข (1 / 1) = 1 | |
2 | 1 | oveq1i 5898 | . . 3 โข ((1 / 1) / (๐ด / ๐ต)) = (1 / (๐ด / ๐ต)) |
3 | ax-1cn 7917 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
4 | 1ap0 8560 | . . . . 5 โข 1 # 0 | |
5 | 3, 4 | pm3.2i 272 | . . . 4 โข (1 โ โ โง 1 # 0) |
6 | divdivdivap 8683 | . . . 4 โข (((1 โ โ โง (1 โ โ โง 1 # 0)) โง ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0))) โ ((1 / 1) / (๐ด / ๐ต)) = ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด))) | |
7 | 3, 5, 6 | mpanl12 436 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / 1) / (๐ด / ๐ต)) = ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด))) |
8 | 2, 7 | eqtr3id 2234 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด))) |
9 | mullid 7968 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) | |
10 | mullid 7968 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) | |
11 | 9, 10 | oveqan12rd 5908 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด)) = (๐ต / ๐ด)) |
12 | 11 | ad2ant2r 509 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด)) = (๐ต / ๐ด)) |
13 | 8, 12 | eqtrd 2220 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1363 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 (class class class)co 5888 โcc 7822 0cc0 7824 1c1 7825 ยท cmul 7829 # cap 8551 / cdiv 8642 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 |
This theorem is referenced by: divcanap6 8689 recdivapd 8777 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |