ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulid1 GIF version

Theorem mulid1 7464
Description: 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulid1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7463 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 recn 7454 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-icn 7419 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
4 recn 7454 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 mulcl 7448 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 405 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7 ax-1cn 7417 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 adddir 7458 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
97, 8mp3an3 1262 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
102, 6, 9syl2an 283 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
11 ax-1rid 7431 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12 mulass 7452 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
133, 7, 12mp3an13 1264 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
144, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
15 ax-1rid 7431 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
1615oveq2d 5650 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 · 1)) = (i · 𝑦))
1714, 16eqtrd 2120 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · 𝑦))
1811, 17oveqan12d 5653 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1910, 18eqtrd 2120 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
20 oveq1 5641 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1))
21 id 19 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2220, 21eqeq12d 2102 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2319, 22syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴))
2423rexlimivv 2494 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
251, 24syl 14 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  1c1 7330  ici 7331   + caddc 7332   · cmul 7334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-mulcl 7422  ax-mulcom 7425  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-1rid 7431  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637
This theorem is referenced by:  mulid2  7465  mulid1i  7469  mulid1d  7484  muleqadd  8111  divdivap1  8164  conjmulap  8170  nnmulcl  8415  expmul  9965  binom21  10031  binom2sub1  10033  bernneq  10039  hashiun  10834
  Copyright terms: Public domain W3C validator