ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expp1 GIF version

Theorem expp1 10530
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))

Proof of Theorem expp1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9181 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 elnnuz 9567 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
42, 3sylib 122 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 elnnuz 9567 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7 fvconst2g 5733 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜๐‘ฅ) = ๐ด)
87eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„• ร— {๐ด})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ด โˆˆ โ„‚))
96, 8sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (((โ„• ร— {๐ด})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ด โˆˆ โ„‚))
109adantlr 477 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (((โ„• ร— {๐ด})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ด โˆˆ โ„‚))
115, 10mpbird 167 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
12 mulcl 7941 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
1312adantl 277 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
144, 11, 13seq3p1 10465 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1))))
15 peano2nn 8934 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
16 fvconst2g 5733 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1)) = ๐ด)
1715, 16sylan2 286 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1)) = ๐ด)
1817oveq2d 5894 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1))) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
1914, 18eqtrd 2210 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
20 expnnval 10526 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)))
2115, 20sylan2 286 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)))
22 expnnval 10526 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2322oveq1d 5893 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
2419, 21, 233eqtr4d 2220 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
25 exp1 10529 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
26 mullid 7958 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2725, 26eqtr4d 2213 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = (1 ยท ๐ด))
2827adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘1) = (1 ยท ๐ด))
29 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
3029oveq1d 5893 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ + 1) = (0 + 1))
31 0p1e1 9036 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3230, 31eqtrdi 2226 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ + 1) = 1)
3332oveq2d 5894 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = (๐ดโ†‘1))
34 oveq2 5886 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
35 exp0 10527 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3634, 35sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
3736oveq1d 5893 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
3828, 33, 373eqtr4d 2220 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
3924, 38jaodan 797 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
401, 39sylan2b 287 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {csn 3594   ร— cxp 4626  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819  โ„•cn 8922  โ„•0cn0 9179  โ„คโ‰ฅcuz 9531  seqcseq 10448  โ†‘cexp 10522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449  df-exp 10523
This theorem is referenced by:  expcllem  10534  expm1t  10551  expap0  10553  mulexp  10562  expadd  10565  expmul  10568  leexp2r  10577  leexp1a  10578  sqval  10581  cu2  10622  i3  10625  binom3  10641  bernneq  10644  modqexp  10650  expp1d  10658  faclbnd  10724  faclbnd2  10725  faclbnd6  10727  cjexp  10905  absexp  11091  binomlem  11494  geolim  11522  geo2sum  11525  efexp  11693  demoivreALT  11784  prmdvdsexp  12151  oddpwdclemodd  12175  pcexp  12312  cnfldexp  13618  expcncf  14253  dvexp  14336  tangtx  14420  binom4  14558
  Copyright terms: Public domain W3C validator