ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expp1 GIF version

Theorem expp1 9864
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8611 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 elnnuz 8990 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
42, 3sylib 120 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 elnnuz 8990 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
7 fvconst2g 5474 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
87eleq1d 2153 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
96, 8sylan2br 282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → (((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
109adantlr 461 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → (((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
115, 10mpbird 165 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
12 mulcl 7416 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
1312adantl 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
144, 11, 13iseqp1 9799 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
15 peano2nn 8372 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
16 fvconst2g 5474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
1715, 16sylan2 280 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
1817oveq2d 5631 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) · 𝐴))
1914, 18eqtrd 2117 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) · 𝐴))
20 expinnval 9860 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑁 + 1)))
2115, 20sylan2 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑁 + 1)))
22 expinnval 9860 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
2322oveq1d 5630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) · 𝐴))
2419, 21, 233eqtr4d 2127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
25 exp1 9863 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
26 mulid2 7433 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2725, 26eqtr4d 2120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
2827adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
29 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
3029oveq1d 5630 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
31 0p1e1 8474 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3230, 31syl6eq 2133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
3332oveq2d 5631 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
34 oveq2 5623 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
35 exp0 9861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3634, 35sylan9eqr 2139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
3736oveq1d 5630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
3828, 33, 373eqtr4d 2127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
3924, 38jaodan 744 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
401, 39sylan2b 281 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436  {csn 3431   × cxp 4411  cfv 4983  (class class class)co 5615  cc 7295  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302  cn 8360  0cn0 8609  cuz 8954  seqcseq 9782  cexp 9856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-iseq 9783  df-iexp 9857
This theorem is referenced by:  expcllem  9868  expm1t  9885  expap0  9887  mulexp  9896  expadd  9899  expmul  9902  leexp2r  9911  leexp1a  9912  sqval  9915  cu2  9954  i3  9957  binom3  9971  bernneq  9974  expp1d  9987  faclbnd  10049  faclbnd2  10050  faclbnd6  10052  cjexp  10226  absexp  10411  prmdvdsexp  11033  oddpwdclemodd  11056
  Copyright terms: Public domain W3C validator