Theorem expp1 10462

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
expp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9116	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elnnuz 9502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4	2, 3	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		simpll 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		elnnuz 9502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
7		fvconst2g 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
8	7	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
9	6, 8	sylan2br 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
10	9	adantlr 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
11	5, 10	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
12		mulcl 7880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	12	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	4, 11, 13	seq3p1 10397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
15		peano2nn 8869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
16		fvconst2g 5699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
17	15, 16	sylan2 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
18	17	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
19	14, 18	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
20		expnnval 10458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
21	15, 20	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
22		expnnval 10458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
23	22	oveq1d 5857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
24	19, 21, 23	3eqtr4d 2208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
25		exp1 10461	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
26		mulid2 7897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	eqtr4d 2201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
28	27	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
29		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
30	29	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
31		0p1e1 8971	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
32	30, 31	eqtrdi 2215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
33	32	oveq2d 5858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
34		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
35		exp0 10459	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
36	34, 35	sylan9eqr 2221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
37	36	oveq1d 5857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
38	28, 33, 37	3eqtr4d 2208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
39	24, 38	jaodan 787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
40	1, 39	sylan2b 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576   × cxp 4602  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤ_≥cuz 9466  seqcseq 10380  ↑cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  expcllem  10466  expm1t  10483  expap0  10485  mulexp  10494  expadd  10497  expmul  10500  leexp2r  10509  leexp1a  10510  sqval  10513  cu2  10553  i3  10556  binom3  10572  bernneq  10575  modqexp  10581  expp1d  10589  faclbnd  10654  faclbnd2  10655  faclbnd6  10657  cjexp  10835  absexp  11021  binomlem  11424  geolim  11452  geo2sum  11455  efexp  11623  demoivreALT  11714  prmdvdsexp  12080  oddpwdclemodd  12104  pcexp  12241  expcncf  13242  dvexp  13325  tangtx  13409  binom4  13547