ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recan GIF version

Theorem recan 11073
Description: Cancellation law involving the real part of a complex number. (Contributed by NM, 12-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem recan
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7867 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 oveq1 5860 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
32fveq2d 5500 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
4 oveq1 5860 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐵) = (1 · 𝐵))
54fveq2d 5500 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
63, 5eqeq12d 2185 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
76rspcv 2830 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
81, 7ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
9 negicn 8120 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
10 oveq1 5860 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -i → (𝑥 · 𝐴) = (-i · 𝐴))
1110fveq2d 5500 . . . . . . . 8 (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
12 oveq1 5860 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -i → (𝑥 · 𝐵) = (-i · 𝐵))
1312fveq2d 5500 . . . . . . . 8 (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
1411, 13eqeq12d 2185 . . . . . . 7 (𝑥 = -i → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
1514rspcv 2830 . . . . . 6 (-i ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
169, 15ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
1716oveq2d 5869 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
188, 17oveq12d 5871 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
19 replim 10823 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
20 mulid2 7918 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2176 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (1 · 𝐴))
2221fveq2d 5500 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
23 imre 10815 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
2423oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))))
2522, 24oveq12d 5871 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
2619, 25eqtrd 2203 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
27 replim 10823 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
28 mulid2 7918 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2928eqcomd 2176 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = (1 · 𝐵))
3029fveq2d 5500 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
31 imre 10815 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
3231oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐵)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
3330, 32oveq12d 5871 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
3427, 33eqtrd 2203 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
3526, 34eqeqan12d 2186 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))))
3618, 35syl5ibr 155 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵))
37 oveq2 5861 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐵))
3837fveq2d 5500 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
3938ralrimivw 2544 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
4036, 39impbid1 141 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  1c1 7775  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779  -cneg 8091  cre 10804  cim 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator