Theorem divdivap2 8743

Description: Division by a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divdivap2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐵))

Proof of Theorem divdivap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7965	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		1ap0 8609	. . . . 5 ⊢ 1 # 0
3	1, 2	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0)
4		divdivdivap 8732	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0)) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)))
5	3, 4	mpanl2 435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)))
6	5	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)))
7		div1 8722	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
9	8	oveq1d 5933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 / 𝐶)))
10		mullid 8017	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
11	10	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
12	11	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq2d 5934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐵))
14	6, 9, 13	3eqtr3d 2234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692

This theorem is referenced by:  divdivap2d  8842