Theorem arisum 12046

Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
arisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9392	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1zzd 9494	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		nnz 9486	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 10248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 9591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
8	2, 2, 3, 6, 7	fsumshftm 11993	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9		1m1e0 9200	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	oveq1i 6021	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
11	10	sumeq1i 11911	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
12	8, 11	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13		elfznn0 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15		bcnp1n 11009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
17	14	nn0cnd 9445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 8113	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addcom 8304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
20	17, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
21	20	oveq1d 6026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
22	16, 21	eqtr3d 2264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
23	22	sumeq2dv 11916	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24		1nn0 9406	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		nnm1nn0 9431	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26		bcxmas 12037	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
27	24, 25, 26	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
28	23, 27	eqtr4d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29		1cnd 8183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30		nncn 9139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 29, 30	ppncand 8518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32	29, 30, 31	comraddd 8324	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
33	32	oveq1d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
34		nnnn0 9397	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		bcp1m1 11015	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
36	34, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
37		sqval 10847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
38	37	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
39		mullid 8165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
40	38, 39	oveq12d 6029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
41	30, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
42	30, 30, 29, 41	joinlmuladdmuld 8195	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
43	42	oveq1d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
44	33, 36, 43	3eqtrd 2266	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
45	12, 28, 44	3eqtrd 2266	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
46		oveq2 6019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
47		fz10 10269	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
49	48	sumeq1d 11914	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
50		sum0 11936	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
51	49, 50	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
52		sq0i 10881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
53		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
54	52, 53	oveq12d 6029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
55		00id 8308	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
56	54, 55	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
57	56	oveq1d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
58		2cn 9202	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		2ap0 9224	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
60	58, 59	div0api 8914	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
61	57, 60	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
62	51, 61	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
63	45, 62	jaoi 721	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
64	1, 63	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3492  (class class class)co 6011  ℂcc 8018  0cc0 8020  1c1 8021   + caddc 8023   · cmul 8025   − cmin 8338   / cdiv 8840  ℕcn 9131  2c2 9182  ℕ₀cn0 9390  ...cfz 10231  ↑cexp 10788  Ccbc 10997  Σcsu 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138  ax-arch 8139  ax-caucvg 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-isom 5331  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-frec 6550  df-1o 6575  df-oadd 6579  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-q 9842  df-rp 9877  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-seqfrec 10698  df-exp 10789  df-fac 10976  df-bc 10998  df-ihash 11026  df-cj 11390  df-re 11391  df-im 11392  df-rsqrt 11546  df-abs 11547  df-clim 11827  df-sumdc 11902

This theorem is referenced by:  arisum2  12047