ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  arisum GIF version

Theorem arisum 11207
Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8930 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1zzd 9032 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 nnz 9024 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzelz 9746 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
54zcnd 9125 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 273 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 id 19 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 11154 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9 1m1e0 8746 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
109oveq1i 5750 . . . . . 6 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
1110sumeq1i 11072 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
128, 11syl6eq 2164 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13 elfznn0 9834 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1413adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15 bcnp1n 10445 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1714nn0cnd 8983 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 7677 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
19 addcom 7863 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2017, 18, 19sylancl 407 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2120oveq1d 5755 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2216, 21eqtr3d 2150 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2322sumeq2dv 11077 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24 1nn0 8944 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
25 nnm1nn0 8969 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26 bcxmas 11198 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2724, 25, 26sylancr 408 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2823, 27eqtr4d 2151 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29 1cnd 7746 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30 nncn 8685 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3129, 29, 30ppncand 8077 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
3229, 30, 31comraddd 7883 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
3332oveq1d 5755 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
34 nnnn0 8935 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35 bcp1m1 10451 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
3634, 35syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
37 sqval 10291 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
3837eqcomd 2121 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
39 mulid2 7728 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4038, 39oveq12d 5758 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4130, 40syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4230, 30, 29, 41joinlmuladdmuld 7757 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4342oveq1d 5755 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4433, 36, 433eqtrd 2152 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4512, 28, 443eqtrd 2152 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
46 oveq2 5748 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
47 fz10 9766 . . . . . . 7 (1...0) = ∅
4846, 47syl6eq 2164 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
4948sumeq1d 11075 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
50 sum0 11097 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
5149, 50syl6eq 2164 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
52 sq0i 10324 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
53 id 19 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
5452, 53oveq12d 5758 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
55 00id 7867 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5654, 55syl6eq 2164 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
5756oveq1d 5755 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
58 2cn 8748 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
59 2ap0 8770 . . . . . 6 2 # 0
6058, 59div0api 8466 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6157, 60syl6eq 2164 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
6251, 61eqtr4d 2151 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6345, 62jaoi 688 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
641, 63sylbi 120 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  c0 3331  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   · cmul 7589  cmin 7897   / cdiv 8392  cn 8677  2c2 8728  0cn0 8928  ...cfz 9730  cexp 10232  Ccbc 10433  Σcsu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-bc 10434  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  arisum2  11208
  Copyright terms: Public domain W3C validator