Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  arisum GIF version

Theorem arisum 11322
 Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9026 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1zzd 9128 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 nnz 9120 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzelz 9860 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
54zcnd 9221 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 275 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 id 19 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 11269 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9 1m1e0 8836 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
109oveq1i 5794 . . . . . 6 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
1110sumeq1i 11187 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
128, 11eqtrdi 2189 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13 elfznn0 9948 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1413adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15 bcnp1n 10560 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1714nn0cnd 9079 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 7760 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
19 addcom 7946 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2017, 18, 19sylancl 410 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2120oveq1d 5799 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2216, 21eqtr3d 2175 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2322sumeq2dv 11192 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24 1nn0 9040 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
25 nnm1nn0 9065 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26 bcxmas 11313 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2724, 25, 26sylancr 411 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2823, 27eqtr4d 2176 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29 1cnd 7829 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30 nncn 8775 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3129, 29, 30ppncand 8160 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
3229, 30, 31comraddd 7966 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
3332oveq1d 5799 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
34 nnnn0 9031 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35 bcp1m1 10566 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
3634, 35syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
37 sqval 10405 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
3837eqcomd 2146 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
39 mulid2 7811 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4038, 39oveq12d 5802 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4130, 40syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4230, 30, 29, 41joinlmuladdmuld 7840 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4342oveq1d 5799 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4433, 36, 433eqtrd 2177 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4512, 28, 443eqtrd 2177 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
46 oveq2 5792 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
47 fz10 9880 . . . . . . 7 (1...0) = ∅
4846, 47eqtrdi 2189 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
4948sumeq1d 11190 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
50 sum0 11212 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
5149, 50eqtrdi 2189 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
52 sq0i 10438 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
53 id 19 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
5452, 53oveq12d 5802 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
55 00id 7950 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5654, 55eqtrdi 2189 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
5756oveq1d 5799 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
58 2cn 8838 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
59 2ap0 8860 . . . . . 6 2 # 0
6058, 59div0api 8553 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6157, 60eqtrdi 2189 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
6251, 61eqtr4d 2176 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6345, 62jaoi 706 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
641, 63sylbi 120 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∅c0 3369  (class class class)co 5784  ℂcc 7665  0cc0 7667  1c1 7668   + caddc 7670   · cmul 7672   − cmin 7980   / cdiv 8479  ℕcn 8767  2c2 8818  ℕ0cn0 9024  ...cfz 9844  ↑cexp 10346  Ccbc 10548  Σcsu 11177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759  ax-1cn 7760  ax-1re 7761  ax-icn 7762  ax-addcl 7763  ax-addrcl 7764  ax-mulcl 7765  ax-mulrcl 7766  ax-addcom 7767  ax-mulcom 7768  ax-addass 7769  ax-mulass 7770  ax-distr 7771  ax-i2m1 7772  ax-0lt1 7773  ax-1rid 7774  ax-0id 7775  ax-rnegex 7776  ax-precex 7777  ax-cnre 7778  ax-pre-ltirr 7779  ax-pre-ltwlin 7780  ax-pre-lttrn 7781  ax-pre-apti 7782  ax-pre-ltadd 7783  ax-pre-mulgt0 7784  ax-pre-mulext 7785  ax-arch 7786  ax-caucvg 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-isom 5142  df-riota 5740  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-1st 6048  df-2nd 6049  df-recs 6212  df-irdg 6277  df-frec 6298  df-1o 6323  df-oadd 6327  df-er 6439  df-en 6645  df-dom 6646  df-fin 6647  df-pnf 7849  df-mnf 7850  df-xr 7851  df-ltxr 7852  df-le 7853  df-sub 7982  df-neg 7983  df-reap 8384  df-ap 8391  df-div 8480  df-inn 8768  df-2 8826  df-3 8827  df-4 8828  df-n0 9025  df-z 9102  df-uz 9374  df-q 9462  df-rp 9494  df-fz 9845  df-fzo 9974  df-seqfrec 10273  df-exp 10347  df-fac 10527  df-bc 10549  df-ihash 10577  df-cj 10669  df-re 10670  df-im 10671  df-rsqrt 10825  df-abs 10826  df-clim 11103  df-sumdc 11178 This theorem is referenced by:  arisum2  11323
 Copyright terms: Public domain W3C validator