ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  arisum GIF version

Theorem arisum 11524
Description: Arithmetic series sum of the first ๐‘ positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem arisum
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9196 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 1zzd 9298 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 nnz 9290 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 elfzelz 10043 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
54zcnd 9394 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
65adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7 id 19 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘— + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 11471 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1))
9 1m1e0 9006 . . . . . . 7 (1 โˆ’ 1) = 0
109oveq1i 5901 . . . . . 6 ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
1110sumeq1i 11389 . . . . 5 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1)
128, 11eqtrdi 2238 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1))
13 elfznn0 10132 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
1413adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
15 bcnp1n 10757 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = (๐‘— + 1))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = (๐‘— + 1))
1714nn0cnd 9249 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
18 ax-1cn 7922 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
19 addcom 8112 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + ๐‘—))
2017, 18, 19sylancl 413 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + ๐‘—))
2120oveq1d 5906 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = ((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2216, 21eqtr3d 2224 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) = ((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2322sumeq2dv 11394 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
24 1nn0 9210 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
25 nnm1nn0 9235 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
26 bcxmas 11515 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2724, 25, 26sylancr 414 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2823, 27eqtr4d 2225 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)))
29 1cnd 7991 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
30 nncn 8945 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3129, 29, 30ppncand 8326 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (1 + ๐‘))
3229, 30, 31comraddd 8132 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ + 1))
3332oveq1d 5906 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)))
34 nnnn0 9201 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
35 bcp1m1 10763 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
3634, 35syl 14 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
37 sqval 10596 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
3837eqcomd 2195 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘2))
39 mullid 7973 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
4038, 39oveq12d 5909 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (1 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4130, 40syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (1 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4230, 30, 29, 41joinlmuladdmuld 8003 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4342oveq1d 5906 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
4433, 36, 433eqtrd 2226 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
4512, 28, 443eqtrd 2226 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
46 oveq2 5899 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (1...๐‘) = (1...0))
47 fz10 10064 . . . . . . 7 (1...0) = โˆ…
4846, 47eqtrdi 2238 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (1...๐‘) = โˆ…)
4948sumeq1d 11392 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜)
50 sum0 11414 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜ = 0
5149, 50eqtrdi 2238 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = 0)
52 sq0i 10630 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = 0)
53 id 19 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ ๐‘ = 0)
5452, 53oveq12d 5909 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = (0 + 0))
55 00id 8116 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5654, 55eqtrdi 2238 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = 0)
5756oveq1d 5906 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = (0 / 2))
58 2cn 9008 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
59 2ap0 9030 . . . . . 6 2 # 0
6058, 59div0api 8721 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6157, 60eqtrdi 2238 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = 0)
6251, 61eqtr4d 2225 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6345, 62jaoi 717 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
641, 63sylbi 121 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โˆ…c0 3437  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7827  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   ยท cmul 7834   โˆ’ cmin 8146   / cdiv 8647  โ„•cn 8937  2c2 8988  โ„•0cn0 9194  ...cfz 10026  โ†‘cexp 10537  Ccbc 10745  ฮฃcsu 11379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-fac 10724  df-bc 10746  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380
This theorem is referenced by:  arisum2  11525
  Copyright terms: Public domain W3C validator