Theorem arisum 11519

Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
arisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9191	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1zzd 9293	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		nnz 9285	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 10038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 9389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
8	2, 2, 3, 6, 7	fsumshftm 11466	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9		1m1e0 9001	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	oveq1i 5898	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
11	10	sumeq1i 11384	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
12	8, 11	eqtrdi 2236	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13		elfznn0 10127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15		bcnp1n 10752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
17	14	nn0cnd 9244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 7917	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addcom 8107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
20	17, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
21	20	oveq1d 5903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
22	16, 21	eqtr3d 2222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
23	22	sumeq2dv 11389	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24		1nn0 9205	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		nnm1nn0 9230	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26		bcxmas 11510	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
27	24, 25, 26	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
28	23, 27	eqtr4d 2223	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29		1cnd 7986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30		nncn 8940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 29, 30	ppncand 8321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32	29, 30, 31	comraddd 8127	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
33	32	oveq1d 5903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
34		nnnn0 9196	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		bcp1m1 10758	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
36	34, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
37		sqval 10591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
38	37	eqcomd 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
39		mullid 7968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
40	38, 39	oveq12d 5906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
41	30, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
42	30, 30, 29, 41	joinlmuladdmuld 7998	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
43	42	oveq1d 5903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
44	33, 36, 43	3eqtrd 2224	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
45	12, 28, 44	3eqtrd 2224	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
46		oveq2 5896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
47		fz10 10059	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
49	48	sumeq1d 11387	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
50		sum0 11409	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
51	49, 50	eqtrdi 2236	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
52		sq0i 10625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
53		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
54	52, 53	oveq12d 5906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
55		00id 8111	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
56	54, 55	eqtrdi 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
57	56	oveq1d 5903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
58		2cn 9003	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		2ap0 9025	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
60	58, 59	div0api 8716	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
61	57, 60	eqtrdi 2236	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
62	51, 61	eqtr4d 2223	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
63	45, 62	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
64	1, 63	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∅c0 3434  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829   − cmin 8141   / cdiv 8642  ℕcn 8932  2c2 8983  ℕ₀cn0 9189  ...cfz 10021  ↑cexp 10532  Ccbc 10740  Σcsu 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375

This theorem is referenced by:  arisum2  11520