ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrrebnd GIF version

Theorem xrrebnd 9724
Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrrebnd (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd
StepHypRef Expression
1 elxr 9684 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 id 19 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 mnflt 9691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
4 ltpnf 9688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
53, 4jca 304 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
62, 52thd 174 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
7 renepnf 7926 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
87necon2bi 2382 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
9 pnfxr 7931 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
10 xrltnr 9687 . . . . . . 7 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ +∞ < +∞
12 breq1 3969 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
1311, 12mtbiri 665 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
1413intnand 917 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
158, 142falsed 692 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
16 renemnf 7927 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
1716necon2bi 2382 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
18 mnfxr 7935 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
19 xrltnr 9687 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ -∞ < -∞
21 breq2 3970 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
2220, 21mtbiri 665 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
2322intnanrd 918 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
2417, 232falsed 692 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
256, 15, 243jaoi 1285 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
261, 25sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 962   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3966  cr 7732  +∞cpnf 7910  -∞cmnf 7911  *cxr 7912   < clt 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-pre-ltirr 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-xp 4593  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918
This theorem is referenced by:  xrre  9725  xrre2  9726  xrre3  9727  elioc2  9841  elico2  9842  elicc2  9843  xblpnfps  12840  xblpnf  12841
  Copyright terms: Public domain W3C validator