Theorem xrrebnd 9836

Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrrebnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mnflt 9800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
4		ltpnf 9797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	3, 4	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
6	2, 5	2thd 175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
7		renepnf 8022	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
8	7	necon2bi 2414	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
9		pnfxr 8027	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		xrltnr 9796	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ < +∞
12		breq1 4020	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
13	11, 12	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
14	13	intnand 932	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
15	8, 14	2falsed 703	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
16		renemnf 8023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
17	16	necon2bi 2414	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
18		mnfxr 8031	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
19		xrltnr 9796	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ < -∞
21		breq2 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
22	20, 21	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
23	22	intnanrd 933	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
24	17, 23	2falsed 703	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
25	6, 15, 24	3jaoi 1313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
26	1, 25	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 978   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   class class class wbr 4017  ℝcr 7827  +∞cpnf 8006  -∞cmnf 8007  ℝ^*cxr 8008   < clt 8009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-pre-ltirr 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014

This theorem is referenced by:  xrre  9837  xrre2  9838  xrre3  9839  elioc2  9953  elico2  9954  elicc2  9955  xblpnfps  14281  xblpnf  14282