Theorem xrrebnd 9888

Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrrebnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9845	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mnflt 9852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
4		ltpnf 9849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	3, 4	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
6	2, 5	2thd 175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
7		renepnf 8069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
8	7	necon2bi 2419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
9		pnfxr 8074	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		xrltnr 9848	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ < +∞
12		breq1 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
13	11, 12	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
14	13	intnand 932	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
15	8, 14	2falsed 703	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
16		renemnf 8070	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
17	16	necon2bi 2419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
18		mnfxr 8078	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
19		xrltnr 9848	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ < -∞
21		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
22	20, 21	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
23	22	intnanrd 933	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
24	17, 23	2falsed 703	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
25	6, 15, 24	3jaoi 1314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
26	1, 25	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061

This theorem is referenced by:  xrre  9889  xrre2  9890  xrre3  9891  elioc2  10005  elico2  10006  elicc2  10007  xblpnfps  14577  xblpnf  14578