Theorem xrrebnd 10054

Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrrebnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mnflt 10018	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
4		ltpnf 10015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	3, 4	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
6	2, 5	2thd 175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
7		renepnf 8227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
8	7	necon2bi 2457	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
9		pnfxr 8232	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		xrltnr 10014	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ < +∞
12		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
13	11, 12	mtbiri 681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
14	13	intnand 938	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
15	8, 14	2falsed 709	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
16		renemnf 8228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
17	16	necon2bi 2457	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
18		mnfxr 8236	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
19		xrltnr 10014	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ < -∞
21		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
22	20, 21	mtbiri 681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
23	22	intnanrd 939	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
24	17, 23	2falsed 709	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
25	6, 15, 24	3jaoi 1339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
26	1, 25	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  xrre  10055  xrre2  10056  xrre3  10057  elioc2  10171  elico2  10172  elicc2  10173  xblpnfps  15128  xblpnf  15129