Theorem opeq1d 3910

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq1d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq1 3904	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  oteq1  3913  oteq2  3914  opth  4377  cbvoprab2  6161  djuf1olem  7394  dfplpq2  7722  ltexnqq  7776  nnanq0  7826  addpinq1  7832  prarloclemlo  7862  prarloclem3  7865  prarloclem5  7868  prsrriota  8156  caucvgsrlemfv  8159  caucvgsr  8170  pitonnlem2  8215  pitonn  8216  recidpirq  8226  ax1rid  8245  axrnegex  8247  nntopi  8262  axcaucvglemval  8265  fseq1m1p1  10513  frecuzrdglem  10862  frecuzrdgg  10867  frecuzrdgdomlem  10868  frecuzrdgfunlem  10870  frecuzrdgsuctlem  10874  pfxswrd  11493  swrdccat  11522  swrdccat3blem  11526  fsum2dlemstep  12219  fprod2dlemstep  12407  ennnfonelemp1  13348  ennnfonelemnn0  13364  setscomd  13444  imasaddvallemg  13687