Theorem opeq1d 3873

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq1d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq1 3867	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ⟨cop 3676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682

This theorem is referenced by:  oteq1  3876  oteq2  3877  opth  4335  cbvoprab2  6104  djuf1olem  7295  dfplpq2  7617  ltexnqq  7671  nnanq0  7721  addpinq1  7727  prarloclemlo  7757  prarloclem3  7760  prarloclem5  7763  prsrriota  8051  caucvgsrlemfv  8054  caucvgsr  8065  pitonnlem2  8110  pitonn  8111  recidpirq  8121  ax1rid  8140  axrnegex  8142  nntopi  8157  axcaucvglemval  8160  fseq1m1p1  10373  frecuzrdglem  10717  frecuzrdgg  10722  frecuzrdgdomlem  10723  frecuzrdgfunlem  10725  frecuzrdgsuctlem  10729  pfxswrd  11334  swrdccat  11363  swrdccat3blem  11367  fsum2dlemstep  12056  fprod2dlemstep  12244  ennnfonelemp1  13088  ennnfonelemnn0  13104  setscomd  13184  imasaddvallemg  13459