Theorem opeq1d 3910

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq1d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq1 3904	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  oteq1  3913  oteq2  3914  opth  4379  cbvoprab2  6164  djuf1olem  7400  dfplpq2  7728  ltexnqq  7782  nnanq0  7832  addpinq1  7838  prarloclemlo  7868  prarloclem3  7871  prarloclem5  7874  prsrriota  8162  caucvgsrlemfv  8165  caucvgsr  8176  pitonnlem2  8221  pitonn  8222  recidpirq  8232  ax1rid  8251  axrnegex  8253  nntopi  8268  axcaucvglemval  8271  fseq1m1p1  10519  frecuzrdglem  10869  frecuzrdgg  10874  frecuzrdgdomlem  10875  frecuzrdgfunlem  10877  frecuzrdgsuctlem  10881  pfxswrd  11500  swrdccat  11529  swrdccat3blem  11533  fsum2dlemstep  12226  fprod2dlemstep  12414  ennnfonelemp1  13355  ennnfonelemnn0  13371  setscomd  13451  imasaddvallemg  13695  gsum2dfilem2  14272