Theorem opeq1d 3910

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq1d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq1 3904	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  oteq1  3913  oteq2  3914  opth  4377  cbvoprab2  6161  djuf1olem  7393  dfplpq2  7721  ltexnqq  7775  nnanq0  7825  addpinq1  7831  prarloclemlo  7861  prarloclem3  7864  prarloclem5  7867  prsrriota  8155  caucvgsrlemfv  8158  caucvgsr  8169  pitonnlem2  8214  pitonn  8215  recidpirq  8225  ax1rid  8244  axrnegex  8246  nntopi  8261  axcaucvglemval  8264  fseq1m1p1  10504  frecuzrdglem  10850  frecuzrdgg  10855  frecuzrdgdomlem  10856  frecuzrdgfunlem  10858  frecuzrdgsuctlem  10862  pfxswrd  11480  swrdccat  11509  swrdccat3blem  11513  fsum2dlemstep  12203  fprod2dlemstep  12391  ennnfonelemp1  13299  ennnfonelemnn0  13315  setscomd  13395  imasaddvallemg  13638