Theorem frecuzrdglem 10554

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdglem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdglem	⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6	1, 2	frec2uzf1od 10549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		frecuzrdglem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
8		f1ocnvdm 5849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	frec2uzrdg 10552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
11		f1ocnvfv2 5846	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)) = 𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)) = 𝐵)
13	12	opeq1d 3824	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
14	10, 13	eqtrd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
16		ffn 5424	. . . 4 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
18		fnfvelrn 5711	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω) → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) ∈ ran 𝑅)
19	17, 9, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) ∈ ran 𝑅)
20	14, 19	eqeltrrd 2282	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ⟨cop 3635   ↦ cmpt 4104  ωcom 4637   × cxp 4672  ^◡ccnv 4673  ran crn 4675   Fn wfn 5265  ⟶wf 5266  –1-1-onto→wf1o 5269  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943   ∈ cmpo 5945  2^nd c2nd 6224  freccfrec 6475  1c1 7925   + caddc 7927  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10555  frecuzrdgsuc  10557