ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdglem GIF version

Theorem frecuzrdglem 10424
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrrn.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdglem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
Assertion
Ref Expression
frecuzrdglem (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdglem
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2frec2uzf1od 10419 . . . . 5 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
7 frecuzrdglem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
8 f1ocnvdm 5795 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
96, 7, 8syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ω)
101, 2, 3, 4, 5, 9frec2uzrdg 10422 . . 3 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(𝐺‘(𝐺𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
11 f1ocnvfv2 5792 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
126, 7, 11syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
1312opeq1d 3796 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐺‘(𝐺𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
1410, 13eqtrd 2220 . 2 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 10423 . . . 4 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
16 ffn 5377 . . . 4 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
1715, 16syl 14 . . 3 (𝜑𝑅 Fn ω)
18 fnfvelrn 5661 . . 3 ((𝑅 Fn ω ∧ (𝐺𝐵) ∈ ω) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
1917, 9, 18syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
2014, 19eqeltrrd 2265 1 (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2158  cop 3607  cmpt 4076  ωcom 4601   × cxp 4636  ccnv 4637  ran crn 4639   Fn wfn 5223  wf 5224  1-1-ontowf1o 5227  cfv 5228  (class class class)co 5888  cmpo 5890  2nd c2nd 6153  freccfrec 6404  1c1 7825   + caddc 7827  cz 9266  cuz 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542
This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10425  frecuzrdgsuc  10427
  Copyright terms: Public domain W3C validator