Theorem frecuzrdglem 10556

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdglem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdglem	⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6	1, 2	frec2uzf1od 10551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		frecuzrdglem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
8		f1ocnvdm 5850	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	frec2uzrdg 10554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
11		f1ocnvfv2 5847	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)) = 𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)) = 𝐵)
13	12	opeq1d 3825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
14	10, 13	eqtrd 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
16		ffn 5425	. . . 4 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
18		fnfvelrn 5712	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω) → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) ∈ ran 𝑅)
19	17, 9, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) ∈ ran 𝑅)
20	14, 19	eqeltrrd 2283	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ⟨cop 3636   ↦ cmpt 4105  ωcom 4638   × cxp 4673  ^◡ccnv 4674  ran crn 4676   Fn wfn 5266  ⟶wf 5267  –1-1-onto→wf1o 5270  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944   ∈ cmpo 5946  2^nd c2nd 6225  freccfrec 6476  1c1 7926   + caddc 7928  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10557  frecuzrdgsuc  10559