ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdglem GIF version

Theorem frecuzrdglem 9707
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrrn.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdglem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
Assertion
Ref Expression
frecuzrdglem (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdglem
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2frec2uzf1od 9702 . . . . 5 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
7 frecuzrdglem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
8 f1ocnvdm 5500 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
96, 7, 8syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ω)
101, 2, 3, 4, 5, 9frec2uzrdg 9705 . . 3 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(𝐺‘(𝐺𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
11 f1ocnvfv2 5497 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
126, 7, 11syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
1312opeq1d 3602 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐺‘(𝐺𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
1410, 13eqtrd 2115 . 2 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 9706 . . . 4 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
16 ffn 5114 . . . 4 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
1715, 16syl 14 . . 3 (𝜑𝑅 Fn ω)
18 fnfvelrn 5376 . . 3 ((𝑅 Fn ω ∧ (𝐺𝐵) ∈ ω) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
1917, 9, 18syl2anc 403 . 2 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
2014, 19eqeltrrd 2160 1 (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3425  cmpt 3865  ωcom 4368   × cxp 4399  ccnv 4400  ran crn 4402   Fn wfn 4964  wf 4965  1-1-ontowf1o 4968  cfv 4969  (class class class)co 5591  cmpt2 5593  2nd c2nd 5845  freccfrec 6087  1c1 7254   + caddc 7256  cz 8646  cuz 8914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915
This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  9708  frecuzrdgsuc  9710
  Copyright terms: Public domain W3C validator