ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdglem GIF version

Theorem frecuzrdglem 10340
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrrn.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdglem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
Assertion
Ref Expression
frecuzrdglem (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdglem
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2frec2uzf1od 10335 . . . . 5 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
7 frecuzrdglem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
8 f1ocnvdm 5746 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
96, 7, 8syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ω)
101, 2, 3, 4, 5, 9frec2uzrdg 10338 . . 3 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(𝐺‘(𝐺𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
11 f1ocnvfv2 5743 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
126, 7, 11syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
1312opeq1d 3761 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐺‘(𝐺𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
1410, 13eqtrd 2197 . 2 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 10339 . . . 4 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
16 ffn 5334 . . . 4 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
1715, 16syl 14 . . 3 (𝜑𝑅 Fn ω)
18 fnfvelrn 5614 . . 3 ((𝑅 Fn ω ∧ (𝐺𝐵) ∈ ω) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
1917, 9, 18syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
2014, 19eqeltrrd 2242 1 (𝜑 → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1342  wcel 2135  cop 3576  cmpt 4040  ωcom 4564   × cxp 4599  ccnv 4600  ran crn 4602   Fn wfn 5180  wf 5181  1-1-ontowf1o 5184  cfv 5185  (class class class)co 5839  cmpo 5841  2nd c2nd 6102  freccfrec 6352  1c1 7748   + caddc 7750  cz 9185  cuz 9460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-frec 6353  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-inn 8852  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461
This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10341  frecuzrdgsuc  10343
  Copyright terms: Public domain W3C validator