Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fseq1m1p1 GIF version

Theorem fseq1m1p1 9935
 Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
fseq1m1p1.1 𝐻 = {⟨𝑁, 𝐵⟩}
Assertion
Ref Expression
fseq1m1p1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴𝐵𝐴𝐺 = (𝐹𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺𝑁) = 𝐵𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))

Proof of Theorem fseq1m1p1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 9071 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2 eqid 2141 . . . 4 {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}
32fseq1p1m1 9934 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴𝐵𝐴𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
41, 3syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴𝐵𝐴𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
5 nncn 8781 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 7766 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
7 npcan 8024 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
85, 6, 7sylancl 410 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
98opeq1d 3721 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩ = ⟨𝑁, 𝐵⟩)
109sneqd 3547 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = {⟨𝑁, 𝐵⟩})
11 fseq1m1p1.1 . . . . . 6 𝐻 = {⟨𝑁, 𝐵⟩}
1210, 11eqtr4di 2192 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = 𝐻)
1312uneq2d 3237 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}) = (𝐹𝐻))
1413eqeq2d 2153 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}) ↔ 𝐺 = (𝐹𝐻)))
15143anbi3d 1297 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴𝐵𝐴𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴𝐵𝐴𝐺 = (𝐹𝐻))))
168oveq2d 5802 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
1716feq2d 5272 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴))
188fveq2d 5437 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐺𝑁))
1918eqeq1d 2150 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ↔ (𝐺𝑁) = 𝐵))
2017, 193anbi12d 1292 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1)))) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺𝑁) = 𝐵𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
214, 15, 203bitr3d 217 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴𝐵𝐴𝐺 = (𝐹𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺𝑁) = 𝐵𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3076  {csn 3534  ⟨cop 3537   ↾ cres 4553  ⟶wf 5131  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℂcc 7671  1c1 7674   + caddc 7676   − cmin 7986  ℕcn 8773  ℕ0cn0 9030  ...cfz 9850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-fz 9851 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator