Theorem fseq1m1p1 10252

Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fseq1m1p1.1	⊢ 𝐻 = {⟨𝑁, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
fseq1m1p1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺‘𝑁) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))

Proof of Theorem fseq1m1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 9371	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2		eqid 2207	. . . 4 ⊢ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}
3	2	fseq1p1m1 10251	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
5		nncn 9079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 8053	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 8316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	opeq1d 3839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩ = ⟨𝑁, 𝐵⟩)
10	9	sneqd 3656	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = {⟨𝑁, 𝐵⟩})
11		fseq1m1p1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = {⟨𝑁, 𝐵⟩}
12	10, 11	eqtr4di 2258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = 𝐻)
13	12	uneq2d 3335	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}) = (𝐹 ∪ 𝐻))
14	13	eqeq2d 2219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}) ↔ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻)))
15	14	3anbi3d 1331	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻))))
16	8	oveq2d 5983	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
17	16	feq2d 5433	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ↔ 𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴))
18	8	fveq2d 5603	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐺‘𝑁))
19	18	eqeq1d 2216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝑁) = 𝐵))
20	17, 19	3anbi12d 1326	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1)))) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺‘𝑁) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
21	4, 15, 20	3bitr3d 218	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺‘𝑁) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ∪ cun 3172  {csn 3643  ⟨cop 3646   ↾ cres 4695  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  1c1 7961   + caddc 7963   − cmin 8278  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by: (None)