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Theorem frecuzrdgdomlem 9755
Description: The domain of the result of the recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgdomlem.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgdomlem (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgdomlem
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 9753 . . . . 5 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
7 frn 5136 . . . . 5 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
86, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
9 dmss 4605 . . . 4 (ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom ran 𝑅 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
108, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → dom ran 𝑅 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
11 dmxpss 4829 . . 3 dom ((ℤ𝐶) × 𝑆) ⊆ (ℤ𝐶)
1210, 11syl6ss 3026 . 2 (𝜑 → dom ran 𝑅 ⊆ (ℤ𝐶))
138adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
14 ffun 5131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → Fun 𝑅)
156, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Fun 𝑅)
1615adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑅)
17 frecuzrdgdomlem.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
181, 17frec2uzf1od 9744 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
19 f1ocnvdm 5523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
2018, 19sylan 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
21 fdm 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom 𝑅 = ω)
226, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑅 = ω)
2322adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → dom 𝑅 = ω)
2420, 23eleqtrrd 2164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ dom 𝑅)
25 fvelrn 5395 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑅 ∧ (𝐺𝑣) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ran 𝑅)
2616, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ran 𝑅)
2713, 26sseldd 3015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
28 1st2nd2 5904 . . . . . . . 8 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
301adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
312adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐴𝑆)
323adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑆𝑇)
334adantlr 461 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3430, 31, 32, 33, 5, 20, 17frecuzrdgg 9754 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = (𝐺‘(𝐺𝑣)))
35 f1ocnvfv2 5520 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝑣)) = 𝑣)
3618, 35sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝑣)) = 𝑣)
3734, 36eqtrd 2117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = 𝑣)
3837opeq1d 3613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ = ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
3929, 38eqtrd 2117 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
4039, 26eqeltrrd 2162 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅)
41 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ (ℤ𝐶))
42 xp2nd 5896 . . . . . . 7 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
4327, 42syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
44 opeldmg 4611 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4541, 43, 44syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4640, 45mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ dom ran 𝑅)
4746ex 113 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4847ssrdv 3020 . 2 (𝜑 → (ℤ𝐶) ⊆ dom ran 𝑅)
4912, 48eqssd 3031 1 (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wss 2988  cop 3434  cmpt 3876  ωcom 4380   × cxp 4411  ccnv 4412  dom cdm 4413  ran crn 4414  Fun wfun 4977  wf 4979  1-1-ontowf1o 4982  cfv 4983  (class class class)co 5615  cmpt2 5617  1st c1st 5868  2nd c2nd 5869  freccfrec 6111  1c1 7298   + caddc 7300  cz 8686  cuz 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955
This theorem is referenced by:  frecuzrdgdom  9756
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