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Theorem frecuzrdgdomlem 10031
Description: The domain of the result of the recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgdomlem.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgdomlem (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgdomlem
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10029 . . . . 5 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
7 frn 5217 . . . . 5 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
86, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
9 dmss 4676 . . . 4 (ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom ran 𝑅 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
108, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → dom ran 𝑅 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
11 dmxpss 4905 . . 3 dom ((ℤ𝐶) × 𝑆) ⊆ (ℤ𝐶)
1210, 11syl6ss 3059 . 2 (𝜑 → dom ran 𝑅 ⊆ (ℤ𝐶))
138adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
14 ffun 5211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → Fun 𝑅)
156, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Fun 𝑅)
1615adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑅)
17 frecuzrdgdomlem.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
181, 17frec2uzf1od 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
19 f1ocnvdm 5614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
2018, 19sylan 279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
21 fdm 5214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom 𝑅 = ω)
226, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑅 = ω)
2322adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → dom 𝑅 = ω)
2420, 23eleqtrrd 2179 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ dom 𝑅)
25 fvelrn 5483 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑅 ∧ (𝐺𝑣) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ran 𝑅)
2616, 24, 25syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ran 𝑅)
2713, 26sseldd 3048 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
28 1st2nd2 6003 . . . . . . . 8 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
301adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
312adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐴𝑆)
323adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑆𝑇)
334adantlr 464 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3430, 31, 32, 33, 5, 20, 17frecuzrdgg 10030 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = (𝐺‘(𝐺𝑣)))
35 f1ocnvfv2 5611 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝑣)) = 𝑣)
3618, 35sylan 279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝑣)) = 𝑣)
3734, 36eqtrd 2132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = 𝑣)
3837opeq1d 3658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ = ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
3929, 38eqtrd 2132 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
4039, 26eqeltrrd 2177 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅)
41 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ (ℤ𝐶))
42 xp2nd 5995 . . . . . . 7 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
4327, 42syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
44 opeldmg 4682 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4541, 43, 44syl2anc 406 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4640, 45mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ dom ran 𝑅)
4746ex 114 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4847ssrdv 3053 . 2 (𝜑 → (ℤ𝐶) ⊆ dom ran 𝑅)
4912, 48eqssd 3064 1 (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1299  wcel 1448  wss 3021  cop 3477  cmpt 3929  ωcom 4442   × cxp 4475  ccnv 4476  dom cdm 4477  ran crn 4478  Fun wfun 5053  wf 5055  1-1-ontowf1o 5058  cfv 5059  (class class class)co 5706  cmpo 5708  1st c1st 5967  2nd c2nd 5968  freccfrec 6217  1c1 7501   + caddc 7503  cz 8906  cuz 9176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177
This theorem is referenced by:  frecuzrdgdom  10032
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