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Theorem frecuzrdgdomlem 10298
 Description: The domain of the result of the recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgdomlem.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgdomlem (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgdomlem
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10296 . . . . 5 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
7 frn 5325 . . . . 5 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
86, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
9 dmss 4782 . . . 4 (ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom ran 𝑅 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
108, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → dom ran 𝑅 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
11 dmxpss 5013 . . 3 dom ((ℤ𝐶) × 𝑆) ⊆ (ℤ𝐶)
1210, 11sstrdi 3140 . 2 (𝜑 → dom ran 𝑅 ⊆ (ℤ𝐶))
138adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
14 ffun 5319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → Fun 𝑅)
156, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Fun 𝑅)
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑅)
17 frecuzrdgdomlem.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
181, 17frec2uzf1od 10287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
19 f1ocnvdm 5726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
2018, 19sylan 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
21 fdm 5322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom 𝑅 = ω)
226, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑅 = ω)
2322adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → dom 𝑅 = ω)
2420, 23eleqtrrd 2237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ dom 𝑅)
25 fvelrn 5595 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑅 ∧ (𝐺𝑣) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ran 𝑅)
2616, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ran 𝑅)
2713, 26sseldd 3129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
28 1st2nd2 6117 . . . . . . . 8 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
301adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
312adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐴𝑆)
323adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑆𝑇)
334adantlr 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3430, 31, 32, 33, 5, 20, 17frecuzrdgg 10297 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = (𝐺‘(𝐺𝑣)))
35 f1ocnvfv2 5723 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝑣)) = 𝑣)
3618, 35sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝑣)) = 𝑣)
3734, 36eqtrd 2190 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = 𝑣)
3837opeq1d 3747 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ = ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
3929, 38eqtrd 2190 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩)
4039, 26eqeltrrd 2235 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅)
41 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ (ℤ𝐶))
42 xp2nd 6108 . . . . . . 7 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
4327, 42syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
44 opeldmg 4788 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4541, 43, 44syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4640, 45mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ dom ran 𝑅)
4746ex 114 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑣 ∈ dom ran 𝑅))
4847ssrdv 3134 . 2 (𝜑 → (ℤ𝐶) ⊆ dom ran 𝑅)
4912, 48eqssd 3145 1 (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102  ⟨cop 3563   ↦ cmpt 4025  ωcom 4547   × cxp 4581  ◡ccnv 4582  dom cdm 4583  ran crn 4584  Fun wfun 5161  ⟶wf 5163  –1-1-onto→wf1o 5166  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818   ∈ cmpo 5820  1st c1st 6080  2nd c2nd 6081  freccfrec 6331  1c1 7716   + caddc 7718  ℤcz 9150  ℤ≥cuz 9422 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423 This theorem is referenced by:  frecuzrdgdom  10299
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