Theorem prarloclem5 7332

Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 7335. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem5	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemn 7331	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
2	1	3adant2 1001	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
3	2	3ad2ant2 1004	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
4		elprnql 7313	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
5	4	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Q)
6		simp22 1016	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ Q)
7		nqnq0 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ Q ⊆ Q0
8	7	sseli 3098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q0)
9		nq0a0 7289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11		df-0nq0 7258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
12	11	oveq1i 5792	. . . . . . . . 9 ⊢ (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
13	7	sseli 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Q → 𝑃 ∈ Q0)
14		nq0m0r 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
16	12, 15	syl5reqr 2188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
17	16	oveq2d 5798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
18	10, 17	sylan9req 2194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
19	5, 6, 18	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20		simp1r 1007	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐿)
21	19, 20	eqeltrrd 2218	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22		2onn 6425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2o ∈ ω
23		nna0r 6382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2o ∈ ω → (∅ +o 2o) = 2o)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ +o 2o) = 2o
25	24	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = (2o +o 𝑥)
26	25	eqeq1i 2148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁 ↔ (2o +o 𝑥) = 𝑁)
27	26	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁)
28	27	opeq1d 3719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨𝑁, 1o⟩)
29	28	eceq1d 6473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1o⟩] ~Q )
30	29	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
31	30	oveq2d 5798	. . . . . . 7 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
32	31	eleq1d 2209	. . . . . 6 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
33	32	biimprcd 159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34	33	3ad2ant3 1005	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35		peano1 4516	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
36		opeq1 3713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨∅, 1o⟩)
37	36	eceq1d 6473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
38	37	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
39	38	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
40	39	eleq1d 2209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 +o 2o) = (∅ +o 2o))
42	41	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((∅ +o 2o) +o 𝑥))
43	42	opeq1d 3719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩)
44	43	eceq1d 6473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q )
45	44	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
46	45	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
47	46	eleq1d 2209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
48	40, 47	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
49	48	rspcev 2793	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
50	35, 49	mpan 421	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
51	21, 34, 50	syl6an 1411	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
52	51	reximdv 2536	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	3, 52	mpd 13	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  ∅c0 3368  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937  ωcom 4512  (class class class)co 5782  1_oc1o 6314  2_oc2o 6315   +_o coa 6318  [cec 6435  Ncnpi 7104   <_N clti 7107   ~_Q ceq 7111  Qcnq 7112   +_Q cplq 7114   ·_Q cmq 7115   ~_Q0 ceq0 7118  Q₀cnq0 7119  0_Q0c0q0 7120   +_Q0 cplq0 7121   ·_Q0 cmq0 7122  Pcnp 7123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-lti 7139  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298

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