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Theorem prarloclem5 7113
Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 7116. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 7112 . . . 4 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
213adant2 963 . . 3 ((𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
323ad2ant2 966 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
4 elprnql 7094 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
543ad2ant1 965 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴Q)
6 simp22 978 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃Q)
7 nqnq0 7054 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 3022 . . . . . . . 8 (𝐴Q𝐴Q0)
9 nq0a0 7070 . . . . . . . 8 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝐴Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11 df-0nq0 7039 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
1211oveq1i 5676 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 3022 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q𝑃Q0)
14 nq0m0r 7069 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2136 . . . . . . . 8 (𝑃Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5682 . . . . . . 7 (𝑃Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2142 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑃Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 404 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 969 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2166 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22 2onn 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o ∈ ω
23 nna0r 6253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2o ∈ ω → (∅ +o 2o) = 2o)
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +o 2o) = 2o
2524oveq1i 5676 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = (2o +o 𝑥)
2625eqeq1i 2096 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁 ↔ (2o +o 𝑥) = 𝑁)
2726biimpri 132 . . . . . . . . . . 11 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁)
2827opeq1d 3634 . . . . . . . . . 10 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨𝑁, 1o⟩)
2928eceq1d 6342 . . . . . . . . 9 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1o⟩] ~Q )
3029oveq1d 5681 . . . . . . . 8 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5682 . . . . . . 7 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2157 . . . . . 6 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3332biimprcd 159 . . . . 5 ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34333ad2ant3 967 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35 peano1 4422 . . . . 5 ∅ ∈ ω
36 opeq1 3628 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨∅, 1o⟩)
3736eceq1d 6342 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5681 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5682 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2157 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41 oveq1 5673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 +o 2o) = (∅ +o 2o))
4241oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((∅ +o 2o) +o 𝑥))
4342opeq1d 3634 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩)
4443eceq1d 6342 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q )
4544oveq1d 5681 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5682 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2157 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
4840, 47anbi12d 458 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4948rspcev 2723 . . . . 5 ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5035, 49mpan 416 . . . 4 (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5121, 34, 50syl6an 1369 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5251reximdv 2475 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  wrex 2361  c0 3287  cop 3453   class class class wbr 3851  ωcom 4418  (class class class)co 5666  1oc1o 6188  2oc2o 6189   +o coa 6192  [cec 6304  Ncnpi 6885   <N clti 6888   ~Q ceq 6892  Qcnq 6893   +Q cplq 6895   ·Q cmq 6896   ~Q0 ceq0 6899  Q0cnq0 6900  0Q0c0q0 6901   +Q0 cplq0 6902   ·Q0 cmq0 6903  Pcnp 6904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-lti 6920  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-enq0 7037  df-nq0 7038  df-0nq0 7039  df-plq0 7040  df-mq0 7041  df-inp 7079
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