Theorem prarloclem5 7780

Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 7783. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem5	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemn 7779	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
2	1	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
3	2	3ad2ant2 1046	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
4		elprnql 7761	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
5	4	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Q)
6		simp22 1058	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ Q)
7		nqnq0 7721	. . . . . . . . 9 ⊢ Q ⊆ Q0
8	7	sseli 3224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q0)
9		nq0a0 7737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11	7	sseli 3224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Q → 𝑃 ∈ Q0)
12		nq0m0r 7736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
14		df-0nq0 7706	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
15	14	oveq1i 6038	. . . . . . . . 9 ⊢ (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
16	13, 15	eqtr3di 2279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
17	16	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
18	10, 17	sylan9req 2285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
19	5, 6, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20		simp1r 1049	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐿)
21	19, 20	eqeltrrd 2309	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22		2onn 6732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2o ∈ ω
23		nna0r 6689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2o ∈ ω → (∅ +o 2o) = 2o)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ +o 2o) = 2o
25	24	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = (2o +o 𝑥)
26	25	eqeq1i 2239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁 ↔ (2o +o 𝑥) = 𝑁)
27	26	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁)
28	27	opeq1d 3873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨𝑁, 1o⟩)
29	28	eceq1d 6781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1o⟩] ~Q )
30	29	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
31	30	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
32	31	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
33	32	biimprcd 160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34	33	3ad2ant3 1047	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35		peano1 4698	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
36		opeq1 3867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨∅, 1o⟩)
37	36	eceq1d 6781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
38	37	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
39	38	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
40	39	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 +o 2o) = (∅ +o 2o))
42	41	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((∅ +o 2o) +o 𝑥))
43	42	opeq1d 3873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩)
44	43	eceq1d 6781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q )
45	44	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
46	45	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
47	46	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
48	40, 47	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
49	48	rspcev 2911	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
50	35, 49	mpan 424	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
51	21, 34, 50	syl6an 1479	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
52	51	reximdv 2634	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	3, 52	mpd 13	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512  ∅c0 3496  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ωcom 4694  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   +_o coa 6622  [cec 6743  Ncnpi 7552   <_N clti 7555   ~_Q ceq 7559  Qcnq 7560   +_Q cplq 7562   ·_Q cmq 7563   ~_Q0 ceq0 7566  Q₀cnq0 7567  0_Q0c0q0 7568   +_Q0 cplq0 7569   ·_Q0 cmq0 7570  Pcnp 7571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-mi 7586  df-lti 7587  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-enq0 7704  df-nq0 7705  df-0nq0 7706  df-plq0 7707  df-mq0 7708  df-inp 7746

This theorem is referenced by:  prarloclem  7781