ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem5 GIF version

Theorem prarloclem5 7499
Description: A substitution of zero for ๐‘ฆ and ๐‘ minus two for ๐‘ฅ. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฟ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘ƒ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘ˆ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘ฆ)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 7498 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง 1o <N ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘)
213adant2 1016 . . 3 ((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘)
323ad2ant2 1019 . 2 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘)
4 elprnql 7480 . . . . . . 7 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
543ad2ant1 1018 . . . . . 6 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
6 simp22 1031 . . . . . 6 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Q)
7 nqnq0 7440 . . . . . . . . 9 Q โŠ† Q0
87sseli 3152 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ Q0)
9 nq0a0 7456 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)
117sseli 3152 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ Q โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Q0)
12 nq0m0r 7455 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ Q0 โ†’ (0Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = 0Q0)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ Q โ†’ (0Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = 0Q0)
14 df-0nq0 7425 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0
1514oveq1i 5885 . . . . . . . . 9 (0Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)
1613, 15eqtr3di 2225 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ Q โ†’ 0Q0 = ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ))
1716oveq2d 5891 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ Q โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = (๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
1810, 17sylan9req 2231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด = (๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
195, 6, 18syl2anc 411 . . . . 5 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ด = (๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
20 simp1r 1022 . . . . 5 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ฟ)
2119, 20eqeltrrd 2255 . . . 4 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ)
22 2onn 6522 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o โˆˆ ฯ‰
23 nna0r 6479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2o โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… +o 2o) = 2o)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ… +o 2o) = 2o
2524oveq1i 5885 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ) = (2o +o ๐‘ฅ)
2625eqeq1i 2185 . . . . . . . . . . . 12 (((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†” (2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘)
2726biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ) = ๐‘)
2827opeq1d 3785 . . . . . . . . . 10 ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ = โŸจ๐‘, 1oโŸฉ)
2928eceq1d 6571 . . . . . . . . 9 ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ [โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )
3029oveq1d 5890 . . . . . . . 8 ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
3130oveq2d 5891 . . . . . . 7 ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
3231eleq1d 2246 . . . . . 6 ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
3332biimprcd 160 . . . . 5 ((๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
34333ad2ant3 1020 . . . 4 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
35 peano1 4594 . . . . 5 โˆ… โˆˆ ฯ‰
36 opeq1 3779 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ = โŸจโˆ…, 1oโŸฉ)
3736eceq1d 6571 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ [โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 = [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 )
3837oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ))
3938oveq2d 5891 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
4039eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†” (๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ))
41 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) = (โˆ… +o 2o))
4241oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ) = ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ))
4342opeq1d 3785 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ = โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ)
4443eceq1d 6571 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q = [โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q )
4544oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
4645oveq2d 5891 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
4746eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
4840, 47anbi12d 473 . . . . . 6 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” ((๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
4948rspcev 2842 . . . . 5 ((โˆ… โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
5035, 49mpan 424 . . . 4 (((๐ด +Q0 ([โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((โˆ… +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
5121, 34, 50syl6an 1434 . . 3 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
5251reximdv 2578 . 2 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
533, 52mpd 13 1 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โˆ…c0 3423  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004  ฯ‰com 4590  (class class class)co 5875  1oc1o 6410  2oc2o 6411   +o coa 6414  [cec 6533  Ncnpi 7271   <N clti 7274   ~Q ceq 7278  Qcnq 7279   +Q cplq 7281   ยทQ cmq 7282   ~Q0 ceq0 7285  Q0cnq0 7286  0Q0c0q0 7287   +Q0 cplq0 7288   ยทQ0 cmq0 7289  Pcnp 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-lti 7306  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465
This theorem is referenced by:  prarloclem  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator