Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | prarloclemn 7498 |
. . . 4
โข ((๐ โ N โง
1o <N ๐) โ โ๐ฅ โ ฯ (2o +o
๐ฅ) = ๐) |
2 | 1 | 3adant2 1016 |
. . 3
โข ((๐ โ N โง
๐ โ Q
โง 1o <N ๐) โ โ๐ฅ โ ฯ (2o +o
๐ฅ) = ๐) |
3 | 2 | 3ad2ant2 1019 |
. 2
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ฅ โ ฯ (2o +o
๐ฅ) = ๐) |
4 | | elprnql 7480 |
. . . . . . 7
โข
((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โ ๐ด โ Q) |
5 | 4 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . 6
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ ๐ด โ Q) |
6 | | simp22 1031 |
. . . . . 6
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ ๐ โ Q) |
7 | | nqnq0 7440 |
. . . . . . . . 9
โข
Q โ Q0 |
8 | 7 | sseli 3152 |
. . . . . . . 8
โข (๐ด โ Q โ
๐ด โ
Q0) |
9 | | nq0a0 7456 |
. . . . . . . 8
โข (๐ด โ
Q0 โ (๐ด +Q0
0Q0) = ๐ด) |
10 | 8, 9 | syl 14 |
. . . . . . 7
โข (๐ด โ Q โ
(๐ด
+Q0 0Q0) = ๐ด) |
11 | 7 | sseli 3152 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ Q โ
๐ โ
Q0) |
12 | | nq0m0r 7455 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ
Q0 โ (0Q0
ยทQ0 ๐) =
0Q0) |
13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ Q โ
(0Q0 ยทQ0 ๐) =
0Q0) |
14 | | df-0nq0 7425 |
. . . . . . . . . 10
โข
0Q0 = [โจโ
, 1oโฉ]
~Q0 |
15 | 14 | oveq1i 5885 |
. . . . . . . . 9
โข
(0Q0 ยทQ0 ๐) = ([โจโ
,
1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐) |
16 | 13, 15 | eqtr3di 2225 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ Q โ
0Q0 = ([โจโ
, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) |
17 | 16 | oveq2d 5891 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ Q โ
(๐ด
+Q0 0Q0) = (๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐))) |
18 | 10, 17 | sylan9req 2231 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ Q โง
๐ โ Q)
โ ๐ด = (๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐))) |
19 | 5, 6, 18 | syl2anc 411 |
. . . . 5
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ ๐ด = (๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐))) |
20 | | simp1r 1022 |
. . . . 5
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ ๐ด โ ๐ฟ) |
21 | 19, 20 | eqeltrrd 2255 |
. . . 4
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ (๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ) |
22 | | 2onn 6522 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
2o โ ฯ |
23 | | nna0r 6479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(2o โ ฯ โ (โ
+o
2o) = 2o) |
24 | 22, 23 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (โ
+o 2o) = 2o |
25 | 24 | oveq1i 5885 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ) = (2o +o ๐ฅ) |
26 | 25 | eqeq1i 2185 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(((โ
+o 2o) +o ๐ฅ) = ๐ โ (2o +o ๐ฅ) = ๐) |
27 | 26 | biimpri 133 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ ((โ
+o
2o) +o ๐ฅ) = ๐) |
28 | 27 | opeq1d 3785 |
. . . . . . . . . 10
โข
((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ โจ((โ
+o
2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ = โจ๐,
1oโฉ) |
29 | 28 | eceq1d 6571 |
. . . . . . . . 9
โข
((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ [โจ((โ
+o
2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q = [โจ๐, 1oโฉ]
~Q ) |
30 | 29 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . 8
โข
((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ ([โจ((โ
+o
2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐) = ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) |
31 | 30 | oveq2d 5891 |
. . . . . . 7
โข
((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) = (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐))) |
32 | 31 | eleq1d 2246 |
. . . . . 6
โข
((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ ((๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐ โ (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) |
33 | 32 | biimprcd 160 |
. . . . 5
โข ((๐ด +Q
([โจ๐,
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐ โ ((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) |
34 | 33 | 3ad2ant3 1020 |
. . . 4
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ ((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) |
35 | | peano1 4594 |
. . . . 5
โข โ
โ ฯ |
36 | | opeq1 3779 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฆ = โ
โ โจ๐ฆ, 1oโฉ =
โจโ
, 1oโฉ) |
37 | 36 | eceq1d 6571 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฆ = โ
โ [โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 = [โจโ
, 1oโฉ]
~Q0 ) |
38 | 37 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฆ = โ
โ ([โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐) = ([โจโ
,
1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) |
39 | 38 | oveq2d 5891 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฆ = โ
โ (๐ด +Q0
([โจ๐ฆ,
1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) = (๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐))) |
40 | 39 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
โข (๐ฆ = โ
โ ((๐ด +Q0
([โจ๐ฆ,
1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โ (๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ)) |
41 | | oveq1 5882 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฆ = โ
โ (๐ฆ +o 2o) =
(โ
+o 2o)) |
42 | 41 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฆ = โ
โ ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ) =
((โ
+o 2o) +o ๐ฅ)) |
43 | 42 | opeq1d 3785 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฆ = โ
โ โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ = โจ((โ
+o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ) |
44 | 43 | eceq1d 6571 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฆ = โ
โ [โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q = [โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ) |
45 | 44 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฆ = โ
โ
([โจ((๐ฆ +o
2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐) = ([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) |
46 | 45 | oveq2d 5891 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฆ = โ
โ (๐ด +Q
([โจ((๐ฆ +o
2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) = (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐))) |
47 | 46 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
โข (๐ฆ = โ
โ ((๐ด +Q
([โจ((๐ฆ +o
2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐ โ (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) |
48 | 40, 47 | anbi12d 473 |
. . . . . 6
โข (๐ฆ = โ
โ (((๐ด +Q0
([โจ๐ฆ,
1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐) โ ((๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐))) |
49 | 48 | rspcev 2842 |
. . . . 5
โข ((โ
โ ฯ โง ((๐ด
+Q0 ([โจโ
, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) โ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐)) |
50 | 35, 49 | mpan 424 |
. . . 4
โข (((๐ด +Q0
([โจโ
, 1oโฉ] ~Q0
ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q
([โจ((โ
+o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐)) |
51 | 21, 34, 50 | syl6an 1434 |
. . 3
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ ((2o +o ๐ฅ) = ๐ โ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐))) |
52 | 51 | reximdv 2578 |
. 2
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ (โ๐ฅ โ ฯ (2o +o
๐ฅ) = ๐ โ โ๐ฅ โ ฯ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐))) |
53 | 3, 52 | mpd 13 |
1
โข
(((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P
โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง
1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ]
~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ฅ โ ฯ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ]
~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o)
+o ๐ฅ),
1oโฉ] ~Q
ยทQ ๐)) โ ๐)) |