Theorem prarloclem5 7857

Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 7860. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem5	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemn 7856	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
2	1	3adant2 1047	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
3	2	3ad2ant2 1050	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
4		elprnql 7838	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
5	4	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Q)
6		simp22 1062	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ Q)
7		nqnq0 7798	. . . . . . . . 9 ⊢ Q ⊆ Q0
8	7	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q0)
9		nq0a0 7814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11	7	sseli 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Q → 𝑃 ∈ Q0)
12		nq0m0r 7813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
14		df-0nq0 7783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
15	14	oveq1i 6085	. . . . . . . . 9 ⊢ (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
16	13, 15	eqtr3di 2286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
17	16	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
18	10, 17	sylan9req 2292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
19	5, 6, 18	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20		simp1r 1053	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐿)
21	19, 20	eqeltrrd 2316	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22		2onn 6784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2o ∈ ω
23		nna0r 6741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2o ∈ ω → (∅ +o 2o) = 2o)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ +o 2o) = 2o
25	24	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = (2o +o 𝑥)
26	25	eqeq1i 2246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁 ↔ (2o +o 𝑥) = 𝑁)
27	26	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁)
28	27	opeq1d 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨𝑁, 1o⟩)
29	28	eceq1d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1o⟩] ~Q )
30	29	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
31	30	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
32	31	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
33	32	biimprcd 160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34	33	3ad2ant3 1051	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35		peano1 4736	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
36		opeq1 3899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨∅, 1o⟩)
37	36	eceq1d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
38	37	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
39	38	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
40	39	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 +o 2o) = (∅ +o 2o))
42	41	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((∅ +o 2o) +o 𝑥))
43	42	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩)
44	43	eceq1d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q )
45	44	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
46	45	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
47	46	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
48	40, 47	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
49	48	rspcev 2929	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
50	35, 49	mpan 428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
51	21, 34, 50	syl6an 1483	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
52	51	reximdv 2651	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	3, 52	mpd 13	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  ωcom 4732  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   +_o coa 6674  [cec 6795  Ncnpi 7629   <_N clti 7632   ~_Q ceq 7636  Qcnq 7637   +_Q cplq 7639   ·_Q cmq 7640   ~_Q0 ceq0 7643  Q₀cnq0 7644  0_Q0c0q0 7645   +_Q0 cplq0 7646   ·_Q0 cmq0 7647  Pcnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-lti 7664  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823

This theorem is referenced by:  prarloclem  7858