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Theorem prarloclem5 7272
Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 7275. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 7271 . . . 4 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
213adant2 983 . . 3 ((𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
323ad2ant2 986 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
4 elprnql 7253 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
543ad2ant1 985 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴Q)
6 simp22 998 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃Q)
7 nqnq0 7213 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 3061 . . . . . . . 8 (𝐴Q𝐴Q0)
9 nq0a0 7229 . . . . . . . 8 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝐴Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11 df-0nq0 7198 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
1211oveq1i 5750 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 3061 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q𝑃Q0)
14 nq0m0r 7228 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2163 . . . . . . . 8 (𝑃Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5756 . . . . . . 7 (𝑃Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2169 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑃Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 406 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 989 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2193 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22 2onn 6383 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o ∈ ω
23 nna0r 6340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2o ∈ ω → (∅ +o 2o) = 2o)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +o 2o) = 2o
2524oveq1i 5750 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = (2o +o 𝑥)
2625eqeq1i 2123 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁 ↔ (2o +o 𝑥) = 𝑁)
2726biimpri 132 . . . . . . . . . . 11 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +o 2o) +o 𝑥) = 𝑁)
2827opeq1d 3679 . . . . . . . . . 10 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨𝑁, 1o⟩)
2928eceq1d 6431 . . . . . . . . 9 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1o⟩] ~Q )
3029oveq1d 5755 . . . . . . . 8 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5756 . . . . . . 7 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2184 . . . . . 6 ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3332biimprcd 159 . . . . 5 ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34333ad2ant3 987 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35 peano1 4476 . . . . 5 ∅ ∈ ω
36 opeq1 3673 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨∅, 1o⟩)
3736eceq1d 6431 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5755 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5756 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2184 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 +o 2o) = (∅ +o 2o))
4241oveq1d 5755 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((∅ +o 2o) +o 𝑥))
4342opeq1d 3679 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩)
4443eceq1d 6431 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q )
4544oveq1d 5755 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5756 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2184 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
4840, 47anbi12d 462 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4948rspcev 2761 . . . . 5 ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5035, 49mpan 418 . . . 4 (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5121, 34, 50syl6an 1393 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5251reximdv 2508 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392  c0 3331  cop 3498   class class class wbr 3897  ωcom 4472  (class class class)co 5740  1oc1o 6272  2oc2o 6273   +o coa 6276  [cec 6393  Ncnpi 7044   <N clti 7047   ~Q ceq 7051  Qcnq 7052   +Q cplq 7054   ·Q cmq 7055   ~Q0 ceq0 7058  Q0cnq0 7059  0Q0c0q0 7060   +Q0 cplq0 7061   ·Q0 cmq0 7062  Pcnp 7063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-lti 7079  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238
This theorem is referenced by:  prarloclem  7273
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