ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo GIF version

Theorem prarloclemlo 7492
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7501. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ฟ   ๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐‘ฆ,๐‘ˆ   ๐‘ฆ,๐‘‹

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘” โˆˆ ฯ‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘“ +o ๐‘”) +o โ„Ž) = (๐‘“ +o (๐‘” +o โ„Ž)))
21adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘“ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘” โˆˆ ฯ‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((๐‘“ +o ๐‘”) +o โ„Ž) = (๐‘“ +o (๐‘” +o โ„Ž)))
3 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
4 1onn 6520 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ ฯ‰
5 nnacl 6480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ฯ‰)
63, 4, 5sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ฯ‰)
7 2onn 6521 . . . . . . . . . . . . . 14 2o โˆˆ ฯ‰
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ 2o โˆˆ ฯ‰)
9 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ฯ‰)
102, 6, 8, 9caovassd 6033 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹) = ((๐‘ฆ +o 1o) +o (2o +o ๐‘‹)))
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ 1o โˆˆ ฯ‰)
12 nnacom 6484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘” โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘“ +o ๐‘”) = (๐‘” +o ๐‘“))
1312adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘“ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘” โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (๐‘“ +o ๐‘”) = (๐‘” +o ๐‘“))
14 nnacl 6480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘” โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘“ +o ๐‘”) โˆˆ ฯ‰)
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘“ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘” โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (๐‘“ +o ๐‘”) โˆˆ ฯ‰)
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 6058 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 2o) +o (1o +o ๐‘‹)) = ((๐‘ฆ +o 1o) +o (2o +o ๐‘‹)))
1713, 11, 9caovcomd 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o +o ๐‘‹) = (๐‘‹ +o 1o))
18 nnon 4609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ On)
19 oa1suc 6467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ On โ†’ (๐‘‹ +o 1o) = suc ๐‘‹)
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘‹ +o 1o) = suc ๐‘‹)
2117, 20eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o +o ๐‘‹) = suc ๐‘‹)
2221oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 2o) +o (1o +o ๐‘‹)) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹))
2310, 16, 223eqtr2rd 2217 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹) = (((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹))
2423opeq1d 3784 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ = โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ)
2524eceq1d 6570 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q = [โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )
2625oveq1d 5889 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
2726oveq2d 5890 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
2827eleq1d 2246 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
2928biimpd 144 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
30 simplr1 1039 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P)
31 simplr2 1040 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ฟ)
32 elprnql 7479 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
3330, 31, 32syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
34 1pi 7313 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ N
35 nnppipi 7341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N)
363, 34, 35sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N)
37 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
3834, 37mpan2 425 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
39 enqex 7358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q โˆˆ V
4039ecelqsi 6588 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
41 df-nqqs 7346 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N ร— N) / ~Q )
4240, 41eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
44 simplr3 1041 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Q)
45 mulclnq 7374 . . . . . . . . . . . 12 (([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q)
4643, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q)
47 nqnq0a 7452 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
4833, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
49 nqnq0m 7453 . . . . . . . . . . . . 13 (([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ0 ๐‘ƒ))
5043, 44, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ0 ๐‘ƒ))
51 nqnq0pi 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q )
5352oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ0 ๐‘ƒ))
5450, 53eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ))
5554oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
5648, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
5756eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†” (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ))
5857anbi1d 465 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” ((๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
59 opeq1 3778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ = โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ)
6059eceq1d 6570 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ [โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 )
6160oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ))
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ (๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
6362eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†” (๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ))
64 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ (๐‘ง +o 2o) = ((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o))
6564oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹) = (((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹))
6665opeq1d 3784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ = โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ)
6766eceq1d 6570 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ [โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q = [โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
7069eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
7163, 70anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐‘ฆ +o 1o) โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” ((๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
7271rspcev 2841 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
7372ex 115 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
746, 73syl 14 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
7558, 74sylbid 150 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
76 opeq1 3778 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ = โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ)
7776eceq1d 6570 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ [โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 )
7877oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ) = ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ))
7978oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)))
8079eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†” (๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ))
81 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง +o 2o) = (๐‘ฆ +o 2o))
8281oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
8382opeq1d 3784 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ = โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ)
8483eceq1d 6570 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ [โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q = [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) = ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
8685oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) = (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
8786eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
8880, 87anbi12d 473 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
8988cbvrexv 2704 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ง, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ง +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
9075, 89imbitrdi 161 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(((๐‘ฆ +o 1o) +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
9129, 90sylan2d 294 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
9291expdimp 259 . . 3 ((((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
9392adantld 278 . 2 ((((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
9493ex 115 1 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3595  Oncon0 4363  suc csuc 4365  ฯ‰com 4589   ร— cxp 4624  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410   +o coa 6413  [cec 6532   / cqs 6533  Ncnpi 7270   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   +Q cplq 7280   ยทQ cmq 7281   ~Q0 ceq0 7284   +Q0 cplq0 7287   ยทQ0 cmq0 7288  Pcnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7494
  Copyright terms: Public domain W3C validator