Theorem prarloclemlo 7811

Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7820. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemlo	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclemlo

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaass 6720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 +o 𝑔) +o ℎ) = (𝑓 +o (𝑔 +o ℎ)))
2	1	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 +o 𝑔) +o ℎ) = (𝑓 +o (𝑔 +o ℎ)))
3		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
4		1onn 6755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ ω
5		nnacl 6715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ω)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ω)
7		2onn 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ ω
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 2o ∈ ω)
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑋 ∈ ω)
10	2, 6, 8, 9	caovassd 6216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋) = ((𝑦 +o 1o) +o (2o +o 𝑋)))
11	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 1o ∈ ω)
12		nnacom 6719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +o 𝑔) = (𝑔 +o 𝑓))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +o 𝑔) = (𝑔 +o 𝑓))
14		nnacl 6715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +o 𝑔) ∈ ω)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +o 𝑔) ∈ ω)
16	3, 8, 11, 13, 2, 9, 15	caov4d 6241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o (1o +o 𝑋)) = ((𝑦 +o 1o) +o (2o +o 𝑋)))
17	13, 11, 9	caovcomd 6213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o +o 𝑋) = (𝑋 +o 1o))
18		nnon 4734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ω → 𝑋 ∈ On)
19		oa1suc 6702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ On → (𝑋 +o 1o) = suc 𝑋)
20	9, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o 1o) = suc 𝑋)
21	17, 20	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o +o 𝑋) = suc 𝑋)
22	21	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o (1o +o 𝑋)) = ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋))
23	10, 16, 22	3eqtr2rd 2274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋) = (((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋))
24	23	opeq1d 3891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩ = ⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
25	24	eceq1d 6805	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
26	25	oveq1d 6067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
27	26	oveq2d 6068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
28	27	eleq1d 2303	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
29	28	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30		simplr1 1066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
31		simplr2 1067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
32		elprnql 7798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
34		1pi 7632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ N
35		nnppipi 7660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
36	3, 34, 35	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
37		opelxpi 4783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
38	34, 37	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +o 1o) ∈ N → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
39		enqex 7677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q ∈ V
40	39	ecelqsi 6825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41		df-nqqs 7665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
43	36, 38, 42	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
44		simplr3 1068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
45		mulclnq 7693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
47		nqnq0a 7771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
48	33, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
49		nqnq0m 7772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
50	43, 44, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
51		nqnq0pi 7755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q )
52	36, 34, 51	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q )
53	52	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
54	50, 53	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
55	54	oveq2d 6068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
56	48, 55	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
57	56	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
58	57	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
59		opeq1 3885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ⟨𝑧, 1o⟩ = ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩)
60	59	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 )
61	60	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
62	61	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
63	62	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
64		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → (𝑧 +o 2o) = ((𝑦 +o 1o) +o 2o))
65	64	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ((𝑧 +o 2o) +o 𝑋) = (((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋))
66	65	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ = ⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
67	66	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → [⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
68	67	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
69	68	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
70	69	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
71	63, 70	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +o 1o) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
72	71	rspcev 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
73	72	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 +o 1o) ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
74	6, 73	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
75	58, 74	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
76		opeq1 3885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨𝑧, 1o⟩ = ⟨𝑦, 1o⟩)
77	76	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 = [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 )
78	77	oveq1d 6067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
79	78	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
80	79	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
81		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +o 2o) = (𝑦 +o 2o))
82	81	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +o 2o) +o 𝑋) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
83	82	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
84	83	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → [⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
85	84	oveq1d 6067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
86	85	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
87	86	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
88	80, 87	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
89	88	cbvrexv 2781	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
90	75, 89	imbitrdi 161	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +o 1o) +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
91	29, 90	sylan2d 294	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
92	91	expdimp 259	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
93	92	adantld 278	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
94	93	ex 115	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  ⟨cop 3694  Oncon0 4486  suc csuc 4488  ωcom 4714   × cxp 4749  (class class class)co 6052  1_oc1o 6642  2_oc2o 6643   +_o coa 6646  [cec 6767   / cqs 6768  Ncnpi 7589   ~_Q ceq 7596  Qcnq 7597   +_Q cplq 7599   ·_Q cmq 7600   ~_Q0 ceq0 7603   +_Q0 cplq0 7606   ·_Q0 cmq0 7607  Pcnp 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623  df-plpq 7661  df-mpq 7662  df-enq 7664  df-nqqs 7665  df-plqqs 7666  df-mqqs 7667  df-enq0 7741  df-nq0 7742  df-plq0 7744  df-mq0 7745  df-inp 7783

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7813