Theorem prarloclem3 7119

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7125. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 499	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2		simpll 497	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3		simplr 498	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ 𝐿)
4		simprr 500	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑃 ∈ Q)
5		oveq2 5676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6	5	opeq1d 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
7	6	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
8	7	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
9	8	oveq2d 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
10	9	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
12	11	rexbidv 2382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
13	12	imbi1d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
14	13	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15		oveq2 5676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o ∅))
16	15	opeq1d 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩)
17	16	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q )
18	17	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
19	18	oveq2d 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
20	19	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
21	20	anbi2d 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
22	21	rexbidv 2382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
23	22	imbi1d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24		oveq2 5676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑧))
25	24	opeq1d 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩)
26	25	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q )
27	26	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
28	27	oveq2d 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
29	28	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30	29	anbi2d 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
31	30	rexbidv 2382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
32	31	imbi1d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33		oveq2 5676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧))
34	33	opeq1d 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩)
35	34	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q )
36	35	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
37	36	oveq2d 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
38	37	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
39	38	anbi2d 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
40	39	rexbidv 2382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
41	40	imbi1d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42		2onn 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2o ∈ ω
43		nnacl 6257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
44		nna0 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +o 2o) ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
46	42, 45	mpan2 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
47	46	opeq1d 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩ = ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩)
48	47	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
49	48	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
50	49	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
51	50	eleq1d 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
52	51	anbi2d 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	52	rexbiia 2394	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54		opeq1 3630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨𝑗, 1o⟩)
55	54	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 )
56	55	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
57	56	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
58	57	eleq1d 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59		oveq1 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +o 2o) = (𝑗 +o 2o))
60	59	opeq1d 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩ = ⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩)
61	60	eceq1d 6344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
62	61	oveq1d 5683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
63	62	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
64	63	eleq1d 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
65	58, 64	anbi12d 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
66	65	cbvrexv 2594	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
67	53, 66	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
68	67	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70		prarloclem3step 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
71	70	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
72	71	imim1d 75	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
73	72	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
75	14, 74	vtoclga 2688	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
76	75	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1177	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78	77	3impia 1141	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361  ∅c0 3289  ⟨cop 3455  suc csuc 4203  ωcom 4420  (class class class)co 5668  1_oc1o 6190  2_oc2o 6191   +_o coa 6194  [cec 6306   ~_Q ceq 6901  Qcnq 6902   +_Q cplq 6904   ·_Q cmq 6905   ~_Q0 ceq0 6908   +_Q0 cplq0 6911   ·_Q0 cmq0 6912  Pcnp 6913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-1o 6197  df-2o 6198  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-pli 6927  df-mi 6928  df-lti 6929  df-plpq 6966  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-plqqs 6971  df-mqqs 6972  df-ltnqqs 6975  df-enq0 7046  df-nq0 7047  df-plq0 7049  df-mq0 7050  df-inp 7088

This theorem is referenced by:  prarloclem4  7120