Theorem prarloclem3 7557

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7563. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2		simpll 527	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3		simplr 528	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ 𝐿)
4		simprr 531	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑃 ∈ Q)
5		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6	5	opeq1d 3810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
7	6	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
8	7	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
9	8	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
10	9	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
12	11	rexbidv 2495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
14	13	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o ∅))
16	15	opeq1d 3810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩)
17	16	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q )
18	17	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
19	18	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
20	19	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
22	21	rexbidv 2495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑧))
25	24	opeq1d 3810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩)
26	25	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q )
27	26	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
28	27	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
29	28	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30	29	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
31	30	rexbidv 2495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
32	31	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧))
34	33	opeq1d 3810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩)
35	34	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q )
36	35	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
37	36	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
38	37	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
39	38	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
40	39	rexbidv 2495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
41	40	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42		2onn 6574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2o ∈ ω
43		nnacl 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
44		nna0 6527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +o 2o) ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
46	42, 45	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
47	46	opeq1d 3810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩ = ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩)
48	47	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
49	48	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
50	49	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
51	50	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
52	51	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	52	rexbiia 2509	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54		opeq1 3804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨𝑗, 1o⟩)
55	54	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 )
56	55	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
57	56	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
58	57	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +o 2o) = (𝑗 +o 2o))
60	59	opeq1d 3810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩ = ⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩)
61	60	eceq1d 6623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
62	61	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
63	62	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
64	63	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
65	58, 64	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
66	65	cbvrexv 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
67	53, 66	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
68	67	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70		prarloclem3step 7556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
71	70	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
72	71	imim1d 75	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
73	72	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4633	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
75	14, 74	vtoclga 2826	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
76	75	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1251	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78	77	3impia 1202	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  ∅c0 3446  ⟨cop 3621  suc csuc 4396  ωcom 4622  (class class class)co 5918  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463   +_o coa 6466  [cec 6585   ~_Q ceq 7339  Qcnq 7340   +_Q cplq 7342   ·_Q cmq 7343   ~_Q0 ceq0 7346   +_Q0 cplq0 7349   ·_Q0 cmq0 7350  Pcnp 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526

This theorem is referenced by:  prarloclem4  7558