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Theorem prarloclem3 7324
Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7330. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2 simpll 518 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3 simplr 519 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝐴𝐿)
4 simprr 521 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑃Q)
5 oveq2 5785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
65opeq1d 3714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
76eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
87oveq1d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
98oveq2d 5793 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
109eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
1110anbi2d 459 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1211rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1312imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
1413imbi2d 229 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15 oveq2 5785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o ∅))
1615opeq1d 3714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩)
1716eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q )
1817oveq1d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
1918oveq2d 5793 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2019eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2120anbi2d 459 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2221rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2322imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24 oveq2 5785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑧))
2524opeq1d 3714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩)
2625eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q )
2726oveq1d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2827oveq2d 5793 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2928eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3029anbi2d 459 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3130rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3231imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33 oveq2 5785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧))
3433opeq1d 3714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩)
3534eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q )
3635oveq1d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3736oveq2d 5793 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3837eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3938anbi2d 459 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4039rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4140imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42 2onn 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o ∈ ω
43 nnacl 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
44 nna0 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +o 2o) ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
4642, 45mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
4746opeq1d 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩ = ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩)
4847eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
4948oveq1d 5792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
5049oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
5150eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5251anbi2d 459 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5352rexbiia 2450 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54 opeq1 3708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨𝑗, 1o⟩)
5554eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 )
5655oveq1d 5792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5756oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5857eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59 oveq1 5784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +o 2o) = (𝑗 +o 2o))
6059opeq1d 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩ = ⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩)
6160eceq1d 6468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
6261oveq1d 5792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6362oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6463eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6558, 64anbi12d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
6665cbvrexv 2655 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6753, 66bitri 183 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6867biimpi 119 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6968a1i 9 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70 prarloclem3step 7323 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7170ex 114 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271imim1d 75 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7372ex 114 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
7423, 32, 41, 69, 73finds2 4518 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7514, 74vtoclga 2752 . . . 4 (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7675imp 123 . . 3 ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
771, 2, 3, 4, 76syl13anc 1218 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78773impia 1178 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417  c0 3363  cop 3530  suc csuc 4290  ωcom 4507  (class class class)co 5777  1oc1o 6309  2oc2o 6310   +o coa 6313  [cec 6430   ~Q ceq 7106  Qcnq 7107   +Q cplq 7109   ·Q cmq 7110   ~Q0 ceq0 7113   +Q0 cplq0 7116   ·Q0 cmq0 7117  Pcnp 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-eprel 4214  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-1o 6316  df-2o 6317  df-oadd 6320  df-omul 6321  df-er 6432  df-ec 6434  df-qs 6438  df-ni 7131  df-pli 7132  df-mi 7133  df-lti 7134  df-plpq 7171  df-mpq 7172  df-enq 7174  df-nqqs 7175  df-plqqs 7176  df-mqqs 7177  df-ltnqqs 7180  df-enq0 7251  df-nq0 7252  df-plq0 7254  df-mq0 7255  df-inp 7293
This theorem is referenced by:  prarloclem4  7325
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