Theorem prarloclem3 7854

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7860. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 535	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2		simpll 531	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3		simplr 533	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ 𝐿)
4		simprr 537	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑃 ∈ Q)
5		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6	5	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
7	6	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
8	7	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
9	8	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
10	9	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
12	11	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
14	13	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o ∅))
16	15	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩)
17	16	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q )
18	17	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
19	18	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
20	19	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
21	20	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
22	21	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑧))
25	24	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩)
26	25	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q )
27	26	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
28	27	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
29	28	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30	29	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
31	30	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
32	31	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧))
34	33	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩)
35	34	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q )
36	35	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
37	36	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
38	37	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
39	38	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
40	39	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
41	40	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42		2onn 6784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2o ∈ ω
43		nnacl 6743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
44		nna0 6737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +o 2o) ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
46	42, 45	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
47	46	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩ = ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩)
48	47	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
49	48	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
50	49	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
51	50	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
52	51	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	52	rexbiia 2565	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54		opeq1 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨𝑗, 1o⟩)
55	54	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 )
56	55	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
57	56	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
58	57	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +o 2o) = (𝑗 +o 2o))
60	59	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩ = ⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩)
61	60	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
62	61	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
63	62	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
64	63	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
65	58, 64	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
66	65	cbvrexv 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
67	53, 66	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
68	67	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70		prarloclem3step 7853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
71	70	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
72	71	imim1d 75	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
73	72	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
75	14, 74	vtoclga 2889	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
76	75	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1280	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78	77	3impia 1231	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  ⟨cop 3708  suc csuc 4505  ωcom 4732  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   +_o coa 6674  [cec 6795   ~_Q ceq 7636  Qcnq 7637   +_Q cplq 7639   ·_Q cmq 7640   ~_Q0 ceq0 7643   +_Q0 cplq0 7646   ·_Q0 cmq0 7647  Pcnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823

This theorem is referenced by:  prarloclem4  7855