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Theorem prarloclem3 7526
Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7532. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 529 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2 simpll 527 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3 simplr 528 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝐴𝐿)
4 simprr 531 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑃Q)
5 oveq2 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
65opeq1d 3799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩)
76eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
87oveq1d 5911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
98oveq2d 5912 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
109eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
1110anbi2d 464 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1211rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1312imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
1413imbi2d 230 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15 oveq2 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o ∅))
1615opeq1d 3799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩)
1716eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q )
1817oveq1d 5911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
1918oveq2d 5912 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2019eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2120anbi2d 464 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2221rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2322imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24 oveq2 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑧))
2524opeq1d 3799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩)
2625eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q )
2726oveq1d 5911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2827oveq2d 5912 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2928eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3029anbi2d 464 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3130rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3231imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33 oveq2 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑥) = ((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧))
3433opeq1d 3799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩ = ⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩)
3534eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q )
3635oveq1d 5911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3736oveq2d 5912 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3837eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3938anbi2d 464 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4039rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4140imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42 2onn 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o ∈ ω
43 nnacl 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
44 nna0 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +o 2o) ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
4642, 45mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +o 2o) +o ∅) = (𝑦 +o 2o))
4746opeq1d 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩ = ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩)
4847eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
4948oveq1d 5911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
5049oveq2d 5912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
5150eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5251anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5352rexbiia 2505 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54 opeq1 3793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1o⟩ = ⟨𝑗, 1o⟩)
5554eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 )
5655oveq1d 5911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5756oveq2d 5912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5857eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59 oveq1 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +o 2o) = (𝑗 +o 2o))
6059opeq1d 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩ = ⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩)
6160eceq1d 6595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
6261oveq1d 5911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6362oveq2d 5912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6463eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6558, 64anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
6665cbvrexv 2719 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6753, 66bitri 184 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6867biimpi 120 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6968a1i 9 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o ∅), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70 prarloclem3step 7525 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7170ex 115 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271imim1d 75 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7372ex 115 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑧), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
7423, 32, 41, 69, 73finds2 4618 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7514, 74vtoclga 2818 . . . 4 (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7675imp 124 . . 3 ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
771, 2, 3, 4, 76syl13anc 1251 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78773impia 1202 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  c0 3437  cop 3610  suc csuc 4383  ωcom 4607  (class class class)co 5896  1oc1o 6434  2oc2o 6435   +o coa 6438  [cec 6557   ~Q ceq 7308  Qcnq 7309   +Q cplq 7311   ·Q cmq 7312   ~Q0 ceq0 7315   +Q0 cplq0 7318   ·Q0 cmq0 7319  Pcnp 7320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-ltnqqs 7382  df-enq0 7453  df-nq0 7454  df-plq0 7456  df-mq0 7457  df-inp 7495
This theorem is referenced by:  prarloclem4  7527
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