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Theorem prarloclem3 7035
Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7041. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 498 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2 simpll 496 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3 simplr 497 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝐴𝐿)
4 simprr 499 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑃Q)
5 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
65opeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
76eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
87oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
98oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
109eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
1110anbi2d 452 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1211rexbidv 2381 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1312imbi1d 229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
1413imbi2d 228 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅))
1615opeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩)
1716eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q )
1817oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
1918oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2019eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2120anbi2d 452 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2221rexbidv 2381 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2322imbi1d 229 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧))
2524opeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩)
2625eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q )
2726oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2827oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2928eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3029anbi2d 452 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3130rexbidv 2381 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3231imbi1d 229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧))
3433opeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩)
3534eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q )
3635oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3736oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3837eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3938anbi2d 452 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4039rexbidv 2381 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4140imbi1d 229 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42 2onn 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2𝑜 ∈ ω
43 nnacl 6223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 2𝑜) ∈ ω)
44 nna0 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +𝑜 2𝑜) ∈ ω → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
4642, 45mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
4746opeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩ = ⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
4847eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
4948oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
5049oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
5150eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5251anbi2d 452 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5352rexbiia 2393 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54 opeq1 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1𝑜⟩ = ⟨𝑗, 1𝑜⟩)
5554eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 )
5655oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5756oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5857eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +𝑜 2𝑜) = (𝑗 +𝑜 2𝑜))
6059opeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ = ⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
6160eceq1d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6261oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6362oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6463eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6558, 64anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
6665cbvrexv 2591 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6753, 66bitri 182 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6867biimpi 118 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6968a1i 9 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70 prarloclem3step 7034 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7170ex 113 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271imim1d 74 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7372ex 113 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
7423, 32, 41, 69, 73finds2 4406 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7514, 74vtoclga 2685 . . . 4 (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7675imp 122 . . 3 ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
771, 2, 3, 4, 76syl13anc 1176 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78773impia 1140 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  c0 3284  cop 3444  suc csuc 4183  ωcom 4395  (class class class)co 5634  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157   +𝑜 coa 6160  [cec 6270   ~Q ceq 6817  Qcnq 6818   +Q cplq 6820   ·Q cmq 6821   ~Q0 ceq0 6824   +Q0 cplq0 6827   ·Q0 cmq0 6828  Pcnp 6829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004
This theorem is referenced by:  prarloclem4  7036
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