Theorem fmpo 6437

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 6436	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 4835	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 5527	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {csn 3709  ∪ ciun 4012   × cxp 4772  ⟶wf 5373   ∈ cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375

This theorem is used by:  fnmpo  6438  ovmpoelrn  6443  fmpoco  6452  eroprf  6902  mapxpen  7148  subf  8528  xaddf  10246  ixxf  10300  ioof  10373  fzf  10415  fzof  10551  gcdf  12749  eucalgf  12833  xpsff1o  13670  mgmplusf  13686  grpsubf  13884  lmodscaf  14647  txuni2  15357  txbasval  15368  cnmpt12  15388  cnmpt21  15392  cnmpt2t  15394  cnmpt22  15395  cnmptcom  15399  txswaphmeo  15422  blfvalps  15486  blfps  15510  blf  15511  bdmet  15603  xmetxp  15608  sgmf  16100