ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rimul GIF version

Theorem rimul 8038
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inelr 8037 . . 3 ¬ i ∈ ℝ
2 recexre 8031 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
32adantlr 461 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4 simplll 500 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 7495 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 498 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76recnd 7495 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 ax-icn 7419 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
9 mulass 7452 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
108, 9mp3an1 1260 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
115, 7, 10syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
12 oveq2 5642 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = (i · 1))
138mulid1i 7469 . . . . . . . . 9 (i · 1) = i
1412, 13syl6eq 2136 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1514ad2antll 475 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1611, 15eqtrd 2120 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = i)
17 simpllr 501 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
1817, 6remulcld 7497 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrrd 2165 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → i ∈ ℝ)
203, 19rexlimddv 2493 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → i ∈ ℝ)
2120ex 113 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 → i ∈ ℝ))
221, 21mtoi 625 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 # 0)
23 0re 7467 . . . 4 0 ∈ ℝ
24 reapti 8032 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2523, 24mpan2 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2625adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2722, 26mpbird 165 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330  ici 7331   · cmul 7334   # creap 8027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028
This theorem is referenced by:  rereim  8039  cru  8055  cju  8393  crre  10256
  Copyright terms: Public domain W3C validator