ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rimul GIF version

Theorem rimul 8310
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inelr 8309 . . 3 ¬ i ∈ ℝ
2 recexre 8303 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
32adantlr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4 simplll 505 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 7758 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 503 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76recnd 7758 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 ax-icn 7679 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
9 mulass 7715 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
108, 9mp3an1 1285 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
115, 7, 10syl2anc 406 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
12 oveq2 5748 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = (i · 1))
138mulid1i 7732 . . . . . . . . 9 (i · 1) = i
1412, 13syl6eq 2164 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1514ad2antll 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1611, 15eqtrd 2148 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = i)
17 simpllr 506 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
1817, 6remulcld 7760 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrrd 2193 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → i ∈ ℝ)
203, 19rexlimddv 2529 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → i ∈ ℝ)
2120ex 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 → i ∈ ℝ))
221, 21mtoi 636 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 # 0)
23 0re 7730 . . . 4 0 ∈ ℝ
24 reapti 8304 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2523, 24mpan2 419 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2625adantr 272 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2722, 26mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  0cc0 7584  1c1 7585  ici 7586   · cmul 7589   # creap 8299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300
This theorem is referenced by:  rereim  8311  cru  8327  cju  8676  crre  10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator