ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rimul GIF version

Theorem rimul 8542
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = 0)

Proof of Theorem rimul
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inelr 8541 . . 3 ยฌ i โˆˆ โ„
2 recexre 8535 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด #โ„ 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
32adantlr 477 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
4 simplll 533 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54recnd 7986 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
76recnd 7986 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
8 ax-icn 7906 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
9 mulass 7942 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
108, 9mp3an1 1324 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
115, 7, 10syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((i ยท ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
12 oveq2 5883 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†’ (i ยท (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = (i ยท 1))
138mulid1i 7959 . . . . . . . . 9 (i ยท 1) = i
1412, 13eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†’ (i ยท (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = i)
1514ad2antll 491 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (i ยท (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = i)
1611, 15eqtrd 2210 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((i ยท ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = i)
17 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1817, 6remulcld 7988 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((i ยท ๐ด) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
1916, 18eqeltrrd 2255 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ i โˆˆ โ„)
203, 19rexlimddv 2599 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด #โ„ 0) โ†’ i โˆˆ โ„)
2120ex 115 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด #โ„ 0 โ†’ i โˆˆ โ„))
221, 21mtoi 664 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ๐ด #โ„ 0)
23 0re 7957 . . . 4 0 โˆˆ โ„
24 reapti 8536 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = 0 โ†” ยฌ ๐ด #โ„ 0))
2523, 24mpan2 425 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด = 0 โ†” ยฌ ๐ด #โ„ 0))
2625adantr 276 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = 0 โ†” ยฌ ๐ด #โ„ 0))
2722, 26mpbird 167 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812  ici 7813   ยท cmul 7816   #โ„ creap 8531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532
This theorem is referenced by:  rereim  8543  cru  8559  cju  8918  crre  10866
  Copyright terms: Public domain W3C validator