ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodmodclem2 GIF version

Theorem prodmodclem2 11604
Description: Lemma for prodmodc 11605. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
prodmo.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
prodmodc.3 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘“,๐‘—,๐‘˜,๐‘š   ๐ต,๐‘—   ๐‘“,๐น,๐‘˜,๐‘š   ๐‘—,๐บ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘˜,๐‘š   ๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜,๐‘š   ๐‘ง,๐‘“,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘—,๐‘›)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘›)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘—,๐‘›)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem prodmodclem2
Dummy variables ๐‘” ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
2 simplr 528 . . . 4 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
3 simprr 531 . . . 4 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
41, 2, 33jca 1179 . . 3 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
54reximi 2587 . 2 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
6 fveq2 5530 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
76sseq2d 3200 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†” ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)))
86raleqdv 2692 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด))
9 seqeq1 10467 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) = seq๐‘ค( ยท , ๐น))
109breq1d 4028 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
117, 8, 103anbi123d 1323 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)))
1211cbvrexvw 2723 . . 3 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
13 reeanv 2660 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
14 simprl3 1046 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
15 simprl1 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
16 uzssz 9566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โІ โ„ค
1715, 16sstrdi 3182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โІ โ„ค)
18 1zzd 9299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
19 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
2019nnzd 9393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2118, 20fzfigd 10450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
22 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
23 f1oeng 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
2524ensymd 6801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š))
26 enfii 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
28 zfz1iso 10840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โІ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
2917, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
30 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
31 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3231ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
33 prodmodc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
34 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
35 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
37 eleq1w 2250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
3837dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
3938rspcv 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4036, 39mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
42 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
4315adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
44 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
45 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
4630, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45prodmodclem2a 11603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
4746expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
4847exlimdv 1830 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
4929, 48mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
50 climuni 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
5114, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
52 eqeq2 2199 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5453expr 375 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
5554impd 254 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5655exlimdv 1830 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5756expimpd 363 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5857rexlimdvva 2615 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5913, 58biimtrrid 153 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
6059expdimp 259 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
6112, 60sylan2b 287 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
625, 61sylan2 286 1 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104  DECID wdc 835   โˆง w3a 980   = wceq 1364  โˆƒwex 1503   โˆˆ wcel 2160  โˆ€wral 2468  โˆƒwrex 2469  โฆ‹csb 3072   โІ wss 3144  ifcif 3549   class class class wbr 4018   โ†ฆ cmpt 4079  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5230  โ€˜cfv 5231   Isom wiso 5232  (class class class)co 5891   โ‰ˆ cen 6756  Fincfn 6758  โ„‚cc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   ยท cmul 7835   < clt 8011   โ‰ค cle 8012   # cap 8557  โ„•cn 8938  โ„คcz 9272  โ„คโ‰ฅcuz 9547  ...cfz 10027  seqcseq 10464  โ™ฏchash 10774   โ‡ cli 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306
This theorem is referenced by:  prodmodc  11605
  Copyright terms: Public domain W3C validator