Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexanre GIF version

Theorem rexanre 11053
 Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝜑,𝑗   𝜓,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝜑)
21imim2i 12 . . . . 5 ((𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → (𝑗𝑘𝜑))
32ralimi 2500 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
43reximi 2534 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
5 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝜓)
65imim2i 12 . . . . 5 ((𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → (𝑗𝑘𝜓))
76ralimi 2500 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))
87reximi 2534 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))
94, 8jca 304 . 2 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)))
10 breq1 3942 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝑗𝑘𝑥𝑘))
1110imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥 → ((𝑗𝑘𝜑) ↔ (𝑥𝑘𝜑)))
1211ralbidv 2440 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑥 → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑)))
1312cbvrexv 2660 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑))
14 breq1 3942 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑦 → (𝑗𝑘𝑦𝑘))
1514imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → ((𝑗𝑘𝜓) ↔ (𝑦𝑘𝜓)))
1615ralbidv 2440 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑦 → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
1716cbvrexv 2660 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓))
1813, 17anbi12i 456 . . . 4 ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
19 reeanv 2605 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
2018, 19bitr4i 186 . . 3 ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
21 maxcl 11043 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2221adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23 r19.26 2563 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 ((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) ↔ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
24 anim12 342 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) → ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → (𝜑𝜓)))
25 simplrl 525 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 simplrr 526 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
27 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2827sselda 3104 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
29 maxleastb 11047 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥𝑘𝑦𝑘)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥𝑘𝑦𝑘)))
3130imbi1d 230 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → (𝜑𝜓))))
3224, 31syl5ibr 155 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3332ralimdva 2504 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∀𝑘𝐴 ((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3423, 33syl5bir 152 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
35 breq1 3942 . . . . . . . 8 (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (𝑗𝑘 ↔ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
3635imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → ((𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3736ralbidv 2440 . . . . . 6 (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3837rspcev 2795 . . . . 5 ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)))
3922, 34, 38syl6an 1411 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓))))
4039rexlimdvva 2562 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓))))
4120, 40syl5bi 151 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓))))
429, 41impbid2 142 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  ∀wral 2418  ∃wrex 2419   ⊆ wss 3078  {cpr 3535   class class class wbr 3939  supcsup 6886  ℝcr 7672   < clt 7853   ≤ cle 7854 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-sup 6888  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-rp 9500  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator