Theorem rexanre 10884

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝜑,𝑗   𝜓,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
2	1	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
3	2	ralimi 2469	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
4	3	reximi 2503	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
5		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
6	5	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))
7	6	ralimi 2469	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))
8	7	reximi 2503	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))
9	4, 8	jca 302	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
10		breq1 3898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ≤ 𝑘))
11	10	imbi1d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → ((𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
12	11	ralbidv 2411	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
13	12	cbvrexv 2629	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑))
14		breq1 3898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑘))
15	14	imbi1d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → ((𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓) ↔ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
16	15	ralbidv 2411	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
17	16	cbvrexv 2629	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓))
18	13, 17	anbi12i 453	. . . 4 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
19		reeanv 2574	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
20	18, 19	bitr4i 186	. . 3 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
21		maxcl 10874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23		r19.26 2532	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
24		prth 339	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ((𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝜓)))
25		simplrl 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simplrr 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	27	sselda 3063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		maxleastb 10878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘)))
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘)))
31	30	imbi1d 230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ ((𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝜓))))
32	24, 31	syl5ibr 155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
33	32	ralimdva 2473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
34	23, 33	syl5bir 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
35		breq1 3898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
36	35	imbi1d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
37	36	ralbidv 2411	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
38	37	rspcev 2760	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
39	22, 34, 38	syl6an 1393	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
40	39	rexlimdvva 2531	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
41	20, 40	syl5bi 151	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
42	9, 41	impbid2 142	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2390  ∃wrex 2391   ⊆ wss 3037  {cpr 3494   class class class wbr 3895  supcsup 6821  ℝcr 7546   < clt 7724   ≤ cle 7725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-sup 6823  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663

This theorem is referenced by: (None)