Theorem rexanre 11246

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝜑,𝑗   𝜓,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
2	1	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
3	2	ralimi 2552	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
4	3	reximi 2586	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
6	5	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))
7	6	ralimi 2552	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))
8	7	reximi 2586	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))
9	4, 8	jca 306	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
10		breq1 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ≤ 𝑘))
11	10	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → ((𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
12	11	ralbidv 2489	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
13	12	cbvrexv 2718	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑))
14		breq1 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑘))
15	14	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → ((𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓) ↔ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
16	15	ralbidv 2489	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
17	16	cbvrexv 2718	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓))
18	13, 17	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
19		reeanv 2659	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
20	18, 19	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
21		maxcl 11236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23		r19.26 2615	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)))
24		anim12 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ((𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝜓)))
25		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	27	sselda 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		maxleastb 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘)))
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘)))
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ ((𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝜓))))
32	24, 31	imbitrrid 156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
33	32	ralimdva 2556	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
34	23, 33	biimtrrid 153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
35		breq1 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
36	35	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
37	36	ralbidv 2489	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
38	37	rspcev 2855	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
39	22, 34, 38	syl6an 1444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
40	39	rexlimdvva 2614	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
41	20, 40	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
42	9, 41	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜓))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ∀wral 2467  ∃wrex 2468   ⊆ wss 3143  {cpr 3607   class class class wbr 4017  supcsup 6998  ℝcr 7827   < clt 8009   ≤ cle 8010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-sup 7000  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-rp 9671  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025

This theorem is referenced by: (None)