ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexanre GIF version

Theorem rexanre 10884
Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝜑,𝑗   𝜓,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝜑)
21imim2i 12 . . . . 5 ((𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → (𝑗𝑘𝜑))
32ralimi 2469 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
43reximi 2503 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
5 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝜓)
65imim2i 12 . . . . 5 ((𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → (𝑗𝑘𝜓))
76ralimi 2469 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))
87reximi 2503 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))
94, 8jca 302 . 2 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)))
10 breq1 3898 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝑗𝑘𝑥𝑘))
1110imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥 → ((𝑗𝑘𝜑) ↔ (𝑥𝑘𝜑)))
1211ralbidv 2411 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑥 → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑)))
1312cbvrexv 2629 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑))
14 breq1 3898 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑦 → (𝑗𝑘𝑦𝑘))
1514imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → ((𝑗𝑘𝜓) ↔ (𝑦𝑘𝜓)))
1615ralbidv 2411 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑦 → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
1716cbvrexv 2629 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓))
1813, 17anbi12i 453 . . . 4 ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
19 reeanv 2574 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
2018, 19bitr4i 186 . . 3 ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
21 maxcl 10874 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2221adantl 273 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23 r19.26 2532 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 ((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) ↔ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)))
24 prth 339 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) → ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → (𝜑𝜓)))
25 simplrl 507 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 simplrr 508 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
27 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2827sselda 3063 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
29 maxleastb 10878 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥𝑘𝑦𝑘)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝑥𝑘𝑦𝑘)))
3130imbi1d 230 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → (𝜑𝜓))))
3224, 31syl5ibr 155 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3332ralimdva 2473 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∀𝑘𝐴 ((𝑥𝑘𝜑) ∧ (𝑦𝑘𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3423, 33syl5bir 152 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) → ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
35 breq1 3898 . . . . . . . 8 (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (𝑗𝑘 ↔ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
3635imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → ((𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3736ralbidv 2411 . . . . . 6 (𝑗 = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))))
3837rspcev 2760 . . . . 5 ((sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → (𝜑𝜓))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)))
3922, 34, 38syl6an 1393 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓))))
4039rexlimdvva 2531 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘𝜑) ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓))))
4120, 40syl5bi 151 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → ((∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓)) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓))))
429, 41impbid2 142 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (𝜑𝜓)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜓))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  wss 3037  {cpr 3494   class class class wbr 3895  supcsup 6821  cr 7546   < clt 7724  cle 7725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-sup 6823  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator