Theorem dvdsrtr 14492

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsr.2	. . . . . . 7 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∥ = (∥r‘𝑅))
5		ringsrg 14436	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
7	2, 4, 5, 6	dvdsrd 14485	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∥ 𝑍 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍)))
8	2, 4, 5, 6	dvdsrd 14485	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑍 ∥ 𝑋 ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
9	7, 8	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))))
10		an4 592	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
11	9, 10	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))))
12		reeanv 2721	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
13	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
14	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ∥ = (∥r‘𝑅))
15	5	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ SRing)
16		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
17		simplrl 541	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
19		simprr 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
21		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22	1, 21	ringcl 14401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
24	13, 14, 15, 16, 17, 23	dvdsrmuld 14487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
25	1, 21	ringass 14404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
26	18, 19, 20, 17, 25	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
27	24, 26	breqtrd 4156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
28		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑍))
29		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
30	28, 29	sylan9eq 2291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
31	30	breq2d 4142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 ∥ 𝑋))
32	27, 31	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
33	32	rexlimdvva 2676	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
34	12, 33	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
35	34	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 ∥ 𝑋))
36	11, 35	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
37	36	3impib 1232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  ._rcmulr 13485  SRingcsrg 14351  Ringcrg 14384  ∥_rcdsr 14476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352  df-ring 14386  df-dvdsr 14479

This theorem is used by:  dvdsunit  14503  unitmulcl  14504  unitnegcl  14521