ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsrtr GIF version

Theorem dvdsrtr 13270
Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsrtr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑍𝑍 𝑋) → 𝑌 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
21a1i 9 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3 dvdsr.2 . . . . . . 7 = (∥r𝑅)
43a1i 9 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → = (∥r𝑅))
5 ringsrg 13224 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6 eqidd 2178 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑅) = (.r𝑅))
72, 4, 5, 6dvdsrd 13263 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 𝑍 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍)))
82, 4, 5, 6dvdsrd 13263 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑍 𝑋 ↔ (𝑍𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)))
97, 8anbi12d 473 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 𝑍𝑍 𝑋) ↔ ((𝑌𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋))))
10 an4 586 . . . 4 (((𝑌𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)))
119, 10bitrdi 196 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 𝑍𝑍 𝑋) ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋))))
12 reeanv 2647 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑥𝐵 ((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋))
131a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
143a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → = (∥r𝑅))
155ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑅 ∈ SRing)
16 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (.r𝑅) = (.r𝑅))
17 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑌𝐵)
18 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
19 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
20 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑦𝐵)
21 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
221, 21ringcl 13196 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
2413, 14, 15, 16, 17, 23dvdsrmuld 13265 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑌 ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌))
251, 21ringass 13199 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)))
2618, 19, 20, 17, 25syl13anc 1240 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)))
2724, 26breqtrd 4030 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑌 (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)))
28 oveq2 5883 . . . . . . . . 9 ((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r𝑅)𝑍))
29 id 19 . . . . . . . . 9 ((𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)
3028, 29sylan9eq 2230 . . . . . . . 8 (((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)) = 𝑋)
3130breq2d 4016 . . . . . . 7 (((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 𝑋))
3227, 31syl5ibcom 155 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 𝑋))
3332rexlimdvva 2602 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (∃𝑦𝐵𝑥𝐵 ((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 𝑋))
3412, 33biimtrrid 153 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 𝑋))
3534expimpd 363 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 𝑋))
3611, 35sylbid 150 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 𝑍𝑍 𝑋) → 𝑌 𝑋))
37363impib 1201 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑍𝑍 𝑋) → 𝑌 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  .rcmulr 12537  SRingcsrg 13146  Ringcrg 13179  rcdsr 13255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-cmn 13090  df-abl 13091  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147  df-ring 13181  df-dvdsr 13258
This theorem is referenced by:  dvdsunit  13281  unitmulcl  13282  unitnegcl  13299
  Copyright terms: Public domain W3C validator