ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcddiv GIF version

Theorem gcddiv 12019
Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcddiv (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))

Proof of Theorem gcddiv
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 9271 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
213ad2ant3 1020 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3 simp1 997 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 divides 11795 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด))
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด))
6 simp2 998 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7 divides 11795 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต))
82, 6, 7syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต))
95, 8anbi12d 473 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต)))
10 reeanv 2646 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต))
119, 10bitr4di 198 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต)))
12 gcdcl 11966 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1312nn0cnd 9230 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
14133adant3 1017 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 nncn 8926 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
16153ad2ant3 1020 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
17 simp3 999 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
1817nnap0d 8964 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ # 0)
1914, 16, 18divcanap4d 8752 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (๐‘Ž gcd ๐‘))
20 nnnn0 9182 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
21 mulgcdr 12018 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) = ((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ))
2220, 21syl3an3 1273 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) = ((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ))
2322oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = (((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ) / ๐ถ))
24 zcn 9257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
25243ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
2625, 16, 18divcanap4d 8752 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ๐‘Ž)
27 zcn 9257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
28273ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2928, 16, 18divcanap4d 8752 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ๐‘)
3026, 29oveq12d 5892 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)) = (๐‘Ž gcd ๐‘))
3119, 23, 303eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)))
32 oveq12 5883 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) = (๐ด gcd ๐ต))
3332oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ))
34 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (๐ด / ๐ถ))
35 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ))
3634, 35oveqan12d 5893 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))
3733, 36eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)) โ†” ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
3831, 37syl5ibcom 155 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
39383expa 1203 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
4039expcom 116 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))))
4140rexlimdvv 2601 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
42413ad2ant3 1020 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
4311, 42sylbid 150 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
4443imp 124 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808   ยท cmul 7815   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252   โˆฅ cdvds 11793   gcd cgcd 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943
This theorem is referenced by:  sqgcd  12029  divgcdodd  12142  divnumden  12195  hashgcdlem  12237  pythagtriplem19  12281
  Copyright terms: Public domain W3C validator