Theorem gcddiv 12723

Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcddiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem gcddiv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simp1 1024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		divides 12483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
6		simp2 1025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		divides 12483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
10		reeanv 2715	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
11	9, 10	bitr4di 198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
12		gcdcl 12670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 9560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
14	13	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
15		nncn 9250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17		simp3 1026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
18	17	nnap0d 9288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 # 0)
19	14, 16, 18	divcanap4d 9075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶) = (𝑎 gcd 𝑏))
20		nnnn0 9508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℕ0)
21		mulgcdr 12722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
22	20, 21	syl3an3 1309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
23	22	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶))
24		zcn 9587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25, 16, 18	divcanap4d 9075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑎)
27		zcn 9587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
29	28, 16, 18	divcanap4d 9075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑏)
30	26, 29	oveq12d 6070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = (𝑎 gcd 𝑏))
31	19, 23, 30	3eqtr4d 2277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)))
32		oveq12 6061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = (𝐴 gcd 𝐵))
33	32	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶))
34		oveq1 6059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐴 / 𝐶))
35		oveq1 6059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝐶) = 𝐵 → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐵 / 𝐶))
36	34, 35	oveqan12d 6071	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))
37	33, 36	eqeq12d 2249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
38	31, 37	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
39	38	3expa 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
40	39	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))))
41	40	rexlimdvv 2669	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
42	41	3ad2ant3 1047	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
43	11, 42	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
44	43	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130   · cmul 8137   / cdiv 8951  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582   ∥ cdvds 12481   gcd cgcd 12657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-dvds 12482  df-gcd 12658

This theorem is referenced by:  sqgcd  12733  divgcdodd  12848  divnumden  12901  hashgcdlem  12943  pythagtriplem19  12988