Theorem gcddiv 11948

Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcddiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem gcddiv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simp1 987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		divides 11725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
6		simp2 988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		divides 11725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
9	5, 8	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
10		reeanv 2634	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
11	9, 10	bitr4di 197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
12		gcdcl 11895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 9165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
14	13	3adant3 1007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
15		nncn 8861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17		simp3 989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
18	17	nnap0d 8899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 # 0)
19	14, 16, 18	divcanap4d 8688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶) = (𝑎 gcd 𝑏))
20		nnnn0 9117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℕ0)
21		mulgcdr 11947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
22	20, 21	syl3an3 1263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
23	22	oveq1d 5856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶))
24		zcn 9192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25, 16, 18	divcanap4d 8688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑎)
27		zcn 9192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
29	28, 16, 18	divcanap4d 8688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑏)
30	26, 29	oveq12d 5859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = (𝑎 gcd 𝑏))
31	19, 23, 30	3eqtr4d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)))
32		oveq12 5850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = (𝐴 gcd 𝐵))
33	32	oveq1d 5856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶))
34		oveq1 5848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐴 / 𝐶))
35		oveq1 5848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝐶) = 𝐵 → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐵 / 𝐶))
36	34, 35	oveqan12d 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))
37	33, 36	eqeq12d 2180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
38	31, 37	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
39	38	3expa 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
40	39	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))))
41	40	rexlimdvv 2589	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
42	41	3ad2ant3 1010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
43	11, 42	sylbid 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
44	43	imp 123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2444   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  ℂcc 7747   · cmul 7754   / cdiv 8564  ℕcn 8853  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187   ∥ cdvds 11723   gcd cgcd 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-gcd 11872

This theorem is referenced by:  sqgcd  11958  divgcdodd  12071  divnumden  12124  hashgcdlem  12166  pythagtriplem19  12210