Theorem gcddiv 12583

Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcddiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem gcddiv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simp1 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		divides 12343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
6		simp2 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		divides 12343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
10		reeanv 2701	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
11	9, 10	bitr4di 198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
12		gcdcl 12530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 9450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
14	13	3adant3 1041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
15		nncn 9144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17		simp3 1023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
18	17	nnap0d 9182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 # 0)
19	14, 16, 18	divcanap4d 8969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶) = (𝑎 gcd 𝑏))
20		nnnn0 9402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℕ0)
21		mulgcdr 12582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
22	20, 21	syl3an3 1306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
23	22	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶))
24		zcn 9477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25, 16, 18	divcanap4d 8969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑎)
27		zcn 9477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
29	28, 16, 18	divcanap4d 8969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑏)
30	26, 29	oveq12d 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = (𝑎 gcd 𝑏))
31	19, 23, 30	3eqtr4d 2272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)))
32		oveq12 6022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = (𝐴 gcd 𝐵))
33	32	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶))
34		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐴 / 𝐶))
35		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝐶) = 𝐵 → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐵 / 𝐶))
36	34, 35	oveqan12d 6032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))
37	33, 36	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
38	31, 37	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
39	38	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
40	39	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))))
41	40	rexlimdvv 2655	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
42	41	3ad2ant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
43	11, 42	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
44	43	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023   · cmul 8030   / cdiv 8845  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472   ∥ cdvds 12341   gcd cgcd 12517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518

This theorem is referenced by:  sqgcd  12593  divgcdodd  12708  divnumden  12761  hashgcdlem  12803  pythagtriplem19  12848