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Theorem cauappcvgprlemdisj 7592
Description: Lemma for cauappcvgpr 7603. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj (𝜑 → ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
2 simpl 108 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
32ralimi 2529 . . . . . . . 8 (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
43ralimi 2529 . . . . . . 7 (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑝Q𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
51, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
65adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ∀𝑝Q𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7 oveq1 5849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
87breq1d 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
98rexbidv 2467 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
1110fveq2i 5489 . . . . . . . . . . . 12 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
12 nqex 7304 . . . . . . . . . . . . . 14 Q ∈ V
1312rabex 4126 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
1412rabex 4126 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
1513, 14op1st 6114 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
1611, 15eqtri 2186 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
179, 16elrab2 2885 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1817simprbi 273 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
19 oveq2 5850 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑝))
20 fveq2 5486 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑝))
2119, 20breq12d 3995 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝)))
2221cbvrexv 2693 . . . . . . . . 9 (∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
2318, 22sylib 121 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
24 breq2 3986 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2524rexbidv 2467 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2610fveq2i 5489 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
2713, 14op2nd 6115 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
2826, 27eqtri 2186 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
2925, 28elrab2 2885 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3029simprbi 273 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
3123, 30anim12i 336 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → (∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
32 reeanv 2635 . . . . . . 7 (∃𝑝Q𝑞Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ (∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3331, 32sylibr 133 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑝Q𝑞Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3433adantl 275 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ∃𝑝Q𝑞Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
356, 34r19.29d2r 2610 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ∃𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
36 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
37 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
3836, 37jca 304 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3917simplbi 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → 𝑠Q)
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑠Q)
4140ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝑠Q)
42 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝑝Q)
43 addclnq 7316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠Q𝑝Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
4441, 42, 43syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:QQ)
4645ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝐹:QQ)
4746, 42ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝐹𝑝) ∈ Q)
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝑞Q)
4946, 48ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
50 addclnq 7316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝Q𝑞Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
5142, 48, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
52 addclnq 7316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
5349, 51, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
54 ltsonq 7339 . . . . . . . . . . . . 13 <Q Or Q
55 sotr 4296 . . . . . . . . . . . . 13 (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5654, 55mpan 421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5744, 47, 53, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
59 simprr 522 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
6158, 60jcad 305 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
62 addcomnqg 7322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠Q𝑝Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
6341, 42, 62syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
64 addcomnqg 7322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
6564adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
66 addassnqg 7323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔QQ) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
6766adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 6023 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)))
6963, 68breq12d 3995 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7069anbi1d 461 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
7161, 70sylibd 148 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
72 addclnq 7316 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
7349, 48, 72syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
74 ltanqg 7341 . . . . . . . . . 10 ((𝑠Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑝Q) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7541, 73, 42, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7675anbi1d 461 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
7771, 76sylibrd 168 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
78 so2nr 4299 . . . . . . . . . 10 (( <Q Or Q ∧ (𝑠Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
7954, 78mpan 421 . . . . . . . . 9 ((𝑠Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
8041, 73, 79syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
8180pm2.21d 609 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ⊥))
8277, 81syld 45 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
8382rexlimdva 2583 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) → (∃𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
8483rexlimdva 2583 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → (∃𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
8535, 84mpd 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ⊥)
8685inegd 1362 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
8786ralrimivw 2540 1 (𝜑 → ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 968   = wceq 1343  wfal 1348  wcel 2136  wral 2444  wrex 2445  {crab 2448  cop 3579   class class class wbr 3982   Or wor 4273  wf 5184  cfv 5188  (class class class)co 5842  1st c1st 6106  2nd c2nd 6107  Qcnq 7221   +Q cplq 7223   <Q cltq 7226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-ltnqqs 7294
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7594
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