Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cauappcvgpr.app |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q
𝑞)))) |
2 | | simpl 108 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) → (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) |
3 | 2 | ralimi 2529 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) |
4 | 3 | ralimi 2529 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑝 ∈
Q ∀𝑞
∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) → ∀𝑝 ∈ Q
∀𝑞 ∈
Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) |
5 | 1, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) |
6 | 5 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∀𝑝 ∈ Q
∀𝑞 ∈
Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) |
7 | | oveq1 5849 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞)) |
8 | 7 | breq1d 3992 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q
(𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q
(𝐹‘𝑞))) |
9 | 8 | rexbidv 2467 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q
(𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q
(𝐹‘𝑞))) |
10 | | cauappcvgpr.lim |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐿 = 〈{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q
𝑞)
<Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢}〉 |
11 | 10 | fveq2i 5489 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1st ‘𝐿) = (1st ‘〈{𝑙 ∈ Q ∣
∃𝑞 ∈
Q (𝑙
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢}〉) |
12 | | nqex 7304 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Q ∈ V |
13 | 12 | rabex 4126 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑙 ∈ Q ∣
∃𝑞 ∈
Q (𝑙
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V |
14 | 12 | rabex 4126 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑢 ∈ Q ∣
∃𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢} ∈
V |
15 | 13, 14 | op1st 6114 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1st ‘〈{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q
𝑞)
<Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢}〉) = {𝑙 ∈ Q ∣
∃𝑞 ∈
Q (𝑙
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} |
16 | 11, 15 | eqtri 2186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q
𝑞)
<Q (𝐹‘𝑞)} |
17 | 9, 16 | elrab2 2885 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧
∃𝑞 ∈
Q (𝑠
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞))) |
18 | 17 | simprbi 273 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) →
∃𝑞 ∈
Q (𝑠
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)) |
19 | | oveq2 5850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑝)) |
20 | | fveq2 5486 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝)) |
21 | 19, 20 | breq12d 3995 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q
(𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝))) |
22 | 21 | cbvrexv 2693 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑞 ∈
Q (𝑠
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝)) |
23 | 18, 22 | sylib 121 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) →
∃𝑝 ∈
Q (𝑠
+Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝)) |
24 | | breq2 3986 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
25 | 24 | rexbidv 2467 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
26 | 10 | fveq2i 5489 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(2nd ‘𝐿) = (2nd ‘〈{𝑙 ∈ Q ∣
∃𝑞 ∈
Q (𝑙
+Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢}〉) |
27 | 13, 14 | op2nd 6115 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(2nd ‘〈{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q
𝑞)
<Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢}〉) = {𝑢 ∈ Q ∣
∃𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢} |
28 | 26, 27 | eqtri 2186 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑢} |
29 | 25, 28 | elrab2 2885 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧
∃𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
30 | 29 | simprbi 273 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿) →
∃𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠) |
31 | 23, 30 | anim12i 336 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿)) →
(∃𝑝 ∈
Q (𝑠
+Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
32 | | reeanv 2635 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑝 ∈
Q ∃𝑞
∈ Q ((𝑠
+Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠) ↔ (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
33 | 31, 32 | sylibr 133 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿)) →
∃𝑝 ∈
Q ∃𝑞
∈ Q ((𝑠
+Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
34 | 33 | adantl 275 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q
∃𝑞 ∈
Q ((𝑠
+Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
35 | 6, 34 | r19.29d2r 2610 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q
∃𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠))) |
36 | | simprl 521 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → (𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝)) |
37 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) |
38 | 36, 37 | jca 304 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)))) |
39 | 17 | simplbi 272 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) → 𝑠 ∈
Q) |
40 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿)) → 𝑠 ∈
Q) |
41 | 40 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
𝑠 ∈
Q) |
42 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
𝑝 ∈
Q) |
43 | | addclnq 7316 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧
𝑝 ∈ Q)
→ (𝑠
+Q 𝑝) ∈ Q) |
44 | 41, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(𝑠
+Q 𝑝) ∈ Q) |
45 | | cauappcvgpr.f |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q) |
46 | 45 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
𝐹:Q⟶Q) |
47 | 46, 42 | ffvelrnd 5621 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(𝐹‘𝑝) ∈ Q) |
48 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
𝑞 ∈
Q) |
49 | 46, 48 | ffvelrnd 5621 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(𝐹‘𝑞) ∈ Q) |
50 | | addclnq 7316 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ Q ∧
𝑞 ∈ Q)
→ (𝑝
+Q 𝑞) ∈ Q) |
51 | 42, 48, 50 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(𝑝
+Q 𝑞) ∈ Q) |
52 | | addclnq 7316 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +Q
𝑞) ∈ Q)
→ ((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∈ Q) |
53 | 49, 51, 52 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∈ Q) |
54 | | ltsonq 7339 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
<Q Or Q |
55 | | sotr 4296 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((
<Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧
(𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∈
Q)) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) → (𝑠 +Q
𝑝)
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)))) |
56 | 54, 55 | mpan 421 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑠 +Q
𝑝) ∈ Q
∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) → (𝑠 +Q
𝑝)
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)))) |
57 | 44, 47, 53, 56 | syl3anc 1228 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝑠
+Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞))) → (𝑠 +Q
𝑝)
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)))) |
58 | 38, 57 | syl5 32 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝐹‘𝑝) <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → (𝑠 +Q
𝑝)
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)))) |
59 | | simprr 522 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠) |
60 | 59 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝐹‘𝑝) <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
61 | 58, 60 | jcad 305 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝐹‘𝑝) <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠))) |
62 | | addcomnqg 7322 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧
𝑝 ∈ Q)
→ (𝑠
+Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠)) |
63 | 41, 42, 62 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(𝑠
+Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠)) |
64 | | addcomnqg 7322 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧
𝑔 ∈ Q)
→ (𝑓
+Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)) |
65 | 64 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧
𝑞 ∈ Q)
∧ (𝑓 ∈
Q ∧ 𝑔
∈ Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)) |
66 | | addassnqg 7323 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧
𝑔 ∈ Q
∧ ℎ ∈
Q) → ((𝑓
+Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q
ℎ))) |
67 | 66 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧
𝑞 ∈ Q)
∧ (𝑓 ∈
Q ∧ 𝑔
∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +Q
𝑔)
+Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q
ℎ))) |
68 | 49, 42, 48, 65, 67 | caov12d 6023 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) = (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))) |
69 | 63, 68 | breq12d 3995 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝑠
+Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ↔ (𝑝 +Q
𝑠)
<Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)))) |
70 | 69 | anbi1d 461 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝑠
+Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠) ↔ ((𝑝 +Q
𝑠)
<Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠))) |
71 | 61, 70 | sylibd 148 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝐹‘𝑝) <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → ((𝑝 +Q
𝑠)
<Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠))) |
72 | | addclnq 7316 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝐹‘𝑞) +Q
𝑞) ∈
Q) |
73 | 49, 48, 72 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝐹‘𝑞) +Q
𝑞) ∈
Q) |
74 | | ltanqg 7341 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧
((𝐹‘𝑞) +Q
𝑞) ∈ Q
∧ 𝑝 ∈
Q) → (𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q
(𝑝
+Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)))) |
75 | 41, 73, 42, 74 | syl3anc 1228 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q
(𝑝
+Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)))) |
76 | 75 | anbi1d 461 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠) ↔ ((𝑝 +Q
𝑠)
<Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠))) |
77 | 71, 76 | sylibrd 168 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝐹‘𝑝) <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) → (𝑠 <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠))) |
78 | | so2nr 4299 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((
<Q Or Q ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q))
→ ¬ (𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
79 | 54, 78 | mpan 421 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧
((𝐹‘𝑞) +Q
𝑞) ∈ Q)
→ ¬ (𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
80 | 41, 73, 79 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
¬ (𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) |
81 | 80 | pm2.21d 609 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
((𝑠
<Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠) →
⊥)) |
82 | 77, 81 | syld 45 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) →
(((𝐹‘𝑝) <Q
((𝐹‘𝑞) +Q
(𝑝
+Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q
(𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) →
⊥)) |
83 | 82 | rexlimdva 2583 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) →
⊥)) |
84 | 83 | rexlimdva 2583 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → (∃𝑝 ∈ Q
∃𝑞 ∈
Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q
𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q
𝑝)
<Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q
𝑠)) →
⊥)) |
85 | 35, 84 | mpd 13 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) →
⊥) |
86 | 85 | inegd 1362 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) |
87 | 86 | ralrimivw 2540 |
1
⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1st
‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd
‘𝐿))) |