cauappcvgprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemdisj 7871

Description: Lemma for cauappcvgpr 7882. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemdisj	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐿,𝑠 𝐴,𝑠,𝑝 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.app	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
2		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
3	2	ralimi 2595	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
4	3	ralimi 2595	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
7		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑞))
8	7	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
9	8	rexbidv 2533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
10		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
11	10	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘𝐿) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
12		nqex 7583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q ∈ V
13	12	rabex 4234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
14	12	rabex 4234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} ∈ V
15	13, 14	op1st 6309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
16	11, 15	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1^st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
17	9, 16	elrab2 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
18	17	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞))
19		oveq2 6026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑝))
20		fveq2 5639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝))
21	19, 20	breq12d 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝)))
22	21	cbvrexv 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝))
23	18, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝))
24		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
25	24	rexbidv 2533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
26	10	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
27	13, 14	op2nd 6310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
28	26, 27	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
29	25, 28	elrab2 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
30	29	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)
31	23, 30	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)) → (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
32		reeanv 2703	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) ↔ (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
34	33	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
35	6, 34	r19.29d2r 2677	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
36		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝))
37		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
38	36, 37	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
39	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) → 𝑠 ∈ Q)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)) → 𝑠 ∈ Q)
41	40	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑠 ∈ Q)
42		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑝 ∈ Q)
43		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q)
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q)
45		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
46	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
47	46, 42	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑝) ∈ Q)
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
49	46, 48	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
50		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +_Q 𝑞) ∈ Q)
51	42, 48, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +_Q 𝑞) ∈ Q)
52		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +_Q 𝑞) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q)
53	49, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q)
54		ltsonq 7618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <_Q Or Q
55		sotr 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q)) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
56	54, 55	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
57	44, 47, 53, 56	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
58	38, 57	syl5 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
59		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
61	58, 60	jcad 307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
62		addcomnqg 7601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) = (𝑝 +_Q 𝑠))
63	41, 42, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) = (𝑝 +_Q 𝑠))
64		addcomnqg 7601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
66		addassnqg 7602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
68	49, 42, 48, 65, 67	caov12d 6204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)))
69	63, 68	breq12d 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞))))
70	69	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
71	61, 70	sylibd 149	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
72		addclnq 7595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
73	49, 48, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
74		ltanqg 7620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ↔ (𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞))))
75	41, 73, 42, 74	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ↔ (𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞))))
76	75	anbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
77	71, 76	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
78		so2nr 4418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)) → ¬ (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
79	54, 78	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q) → ¬ (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
80	41, 73, 79	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
81	80	pm2.21d 624	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) → ⊥))
82	77, 81	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ⊥))
83	82	rexlimdva 2650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ⊥))
84	83	rexlimdva 2650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ⊥))
85	35, 84	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ⊥)
86	85	inegd 1416	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
87	86	ralrimivw 2606	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 1004 = wceq 1397 ⊥wfal 1402 ∈ wcel 2202 ∀wral 2510 ∃wrex 2511 {crab 2514 ⟨cop 3672 class class class wbr 4088 Or wor 4392 ⟶wf 5322 ‘cfv 5326 (class class class)co 6018 1^st c1st 6301 2^nd c2nd 6302 Qcnq 7500 +_Q cplq 7502 <_Q cltq 7505

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-eprel 4386 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-oadd 6586 df-omul 6587 df-er 6702 df-ec 6704 df-qs 6708 df-ni 7524 df-pli 7525 df-mi 7526 df-lti 7527 df-plpq 7564 df-enq 7567 df-nqqs 7568 df-plqqs 7569 df-ltnqqs 7573

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemcl 7873

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