Theorem cauappcvgprlemdisj 7407

Description: Lemma for cauappcvgpr 7418. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemdisj	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.app	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
2		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
3	2	ralimi 2469	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
4	3	ralimi 2469	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
6	5	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7		oveq1 5735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
8	7	breq1d 3905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)))
9	8	rexbidv 2412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)))
10		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
11	10	fveq2i 5378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
12		nqex 7119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q ∈ V
13	12	rabex 4032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
14	12	rabex 4032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
15	13, 14	op1st 5998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}
16	11, 15	eqtri 2135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}
17	9, 16	elrab2 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)))
18	17	simprbi 271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞))
19		oveq2 5736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑝))
20		fveq2 5375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝))
21	19, 20	breq12d 3908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝)))
22	21	cbvrexv 2629	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝))
23	18, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝))
24		breq2 3899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
25	24	rexbidv 2412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
26	10	fveq2i 5378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
27	13, 14	op2nd 5999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
28	26, 27	eqtri 2135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
29	25, 28	elrab2 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
30	29	simprbi 271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
31	23, 30	anim12i 334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
32		reeanv 2574	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
33	31, 32	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
34	33	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
35	6, 34	r19.29d2r 2550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
36		simprl 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝))
37		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
38	36, 37	jca 302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
39	17	simplbi 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) → 𝑠 ∈ Q)
40	39	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → 𝑠 ∈ Q)
41	40	ad3antlr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑠 ∈ Q)
42		simplr 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑝 ∈ Q)
43		addclnq 7131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
44	41, 42, 43	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
45		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
46	45	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
47	46, 42	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑝) ∈ Q)
48		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
49	46, 48	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
50		addclnq 7131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
51	42, 48, 50	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
52		addclnq 7131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
53	49, 51, 52	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
54		ltsonq 7154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <Q Or Q
55		sotr 4200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
56	54, 55	mpan 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
57	44, 47, 53, 56	syl3anc 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
58	38, 57	syl5 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
59		simprr 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
61	58, 60	jcad 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
62		addcomnqg 7137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
63	41, 42, 62	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
64		addcomnqg 7137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
65	64	adantl 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
66		addassnqg 7138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ)))
67	66	adantl 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ)))
68	49, 42, 48, 65, 67	caov12d 5906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)))
69	63, 68	breq12d 3908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))))
70	69	anbi1d 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
71	61, 70	sylibd 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
72		addclnq 7131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
73	49, 48, 72	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
74		ltanqg 7156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))))
75	41, 73, 42, 74	syl3anc 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))))
76	75	anbi1d 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
77	71, 76	sylibrd 168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
78		so2nr 4203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
79	54, 78	mpan 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
80	41, 73, 79	syl2anc 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
81	80	pm2.21d 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ⊥))
82	77, 81	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
83	82	rexlimdva 2523	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
84	83	rexlimdva 2523	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
85	35, 84	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ⊥)
86	85	inegd 1333	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
87	86	ralrimivw 2480	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   = wceq 1314  ⊥wfal 1319   ∈ wcel 1463  ∀wral 2390  ∃wrex 2391  {crab 2394  ⟨cop 3496   class class class wbr 3895   Or wor 4177  ⟶wf 5077  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  1^st c1st 5990  2^nd c2nd 5991  Qcnq 7036   +_Q cplq 7038   <_Q cltq 7041

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062  df-lti 7063  df-plpq 7100  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-plqqs 7105  df-ltnqqs 7109

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7409