Theorem cauappcvgprlemdisj 7613

Description: Lemma for cauappcvgpr 7624. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemdisj	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.app	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
2		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
3	2	ralimi 2533	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
4	3	ralimi 2533	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
6	5	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
8	7	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)))
9	8	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)))
10		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
11	10	fveq2i 5499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
12		nqex 7325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q ∈ V
13	12	rabex 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
14	12	rabex 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
15	13, 14	op1st 6125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}
16	11, 15	eqtri 2191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}
17	9, 16	elrab2 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)))
18	17	simprbi 273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞))
19		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑝))
20		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝))
21	19, 20	breq12d 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝)))
22	21	cbvrexv 2697	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝))
23	18, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝))
24		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
25	24	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
26	10	fveq2i 5499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
27	13, 14	op2nd 6126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
28	26, 27	eqtri 2191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
29	25, 28	elrab2 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
30	29	simprbi 273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
31	23, 30	anim12i 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
32		reeanv 2639	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
33	31, 32	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
34	33	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
35	6, 34	r19.29d2r 2614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
36		simprl 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝))
37		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
38	36, 37	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
39	17	simplbi 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) → 𝑠 ∈ Q)
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → 𝑠 ∈ Q)
41	40	ad3antlr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑠 ∈ Q)
42		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑝 ∈ Q)
43		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
44	41, 42, 43	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
45		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
46	45	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
47	46, 42	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑝) ∈ Q)
48		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
49	46, 48	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
50		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
51	42, 48, 50	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
52		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
53	49, 51, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
54		ltsonq 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <Q Or Q
55		sotr 4303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
56	54, 55	mpan 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
57	44, 47, 53, 56	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
58	38, 57	syl5 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
59		simprr 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
61	58, 60	jcad 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
62		addcomnqg 7343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
63	41, 42, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
64		addcomnqg 7343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
66		addassnqg 7344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ)))
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ)))
68	49, 42, 48, 65, 67	caov12d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)))
69	63, 68	breq12d 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))))
70	69	anbi1d 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
71	61, 70	sylibd 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
72		addclnq 7337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
73	49, 48, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
74		ltanqg 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))))
75	41, 73, 42, 74	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞))))
76	75	anbi1d 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
77	71, 76	sylibrd 168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
78		so2nr 4306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
79	54, 78	mpan 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
80	41, 73, 79	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
81	80	pm2.21d 614	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ⊥))
82	77, 81	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
83	82	rexlimdva 2587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
84	83	rexlimdva 2587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
85	35, 84	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))) → ⊥)
86	85	inegd 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
87	86	ralrimivw 2544	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ⊥wfal 1353   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   Or wor 4280  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1^st c1st 6117  2^nd c2nd 6118  Qcnq 7242   +_Q cplq 7244   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7615