ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcadd GIF version

Theorem pcadd 12342
Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcadd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pcadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
pcadd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
pcadd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
Assertion
Ref Expression
pcadd (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))

Proof of Theorem pcadd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcadd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 elq 9625 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
31, 2sylib 122 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
4 pcadd.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 elq 9625 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
64, 5sylib 122 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
7 pcadd.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8 pcxcl 12314 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„*)
97, 1, 8syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„*)
109xrleidd 9804 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
1110adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
12 oveq2 5886 . . . . . . 7 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ด + 0))
13 qcn 9637 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
141, 13syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1514addid1d 8109 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
1612, 15sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ๐ด)
1716oveq2d 5894 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
1811, 17breqtrrd 4033 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
1918a1d 22 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
20 reeanv 2647 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
21 reeanv 2647 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
227ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
23 prmnn 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
25 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
26 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
27 pc0 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
2822, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
294ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
30 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โ‰  0)
31 pcqcl 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3222, 29, 30, 31syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3332zred 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
3433ltpnfd 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž)
35 pnfxr 8013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +โˆž โˆˆ โ„*
3633rexrd 8010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„*)
37 xrlenlt 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†” ยฌ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž))
3835, 36, 37sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†” ยฌ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž))
3938biimpd 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž))
4034, 39mt2d 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ +โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
4128, 40eqnbrtrd 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
42 pcadd.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
4342ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
44 oveq2 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ด = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt 0))
4544breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด = 0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†” (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
4643, 45syl5ibcom 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
4746necon3bd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (ยฌ (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰  0))
4841, 47mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4926, 48eqnetrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0)
50 simprll 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
5150nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5250nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ # 0)
5351, 52div0apd 8747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
54 oveq1 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
5554eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
5653, 55syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
5756necon3d 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5849, 57mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
59 pczcl 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
6022, 25, 58, 59syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
6124, 60nnexpcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
6261nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
6362, 51mulcomd 7982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))))
6463oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
6525zcnd 9379 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6661nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) # 0)
6762, 66jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) # 0))
6851, 52jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0))
6922, 50pccld 12303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
7024, 69nnexpcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„•)
7170nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
7270nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) # 0)
7371, 72jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) # 0))
74 divdivdivap 8673 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) # 0)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) # 0))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ)))
7565, 67, 68, 73, 74syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ)))
7626oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
77 pcdiv 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7822, 25, 58, 50, 77syl121anc 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7976, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
8079oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
8124nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
8224nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ # 0)
8369nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8460nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
8581, 82, 83, 84expsubapd 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
8680, 85eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
8786oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด))) = (๐ด / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
8826oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
89 divdivdivap 8673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0)) โˆง (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) # 0) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) # 0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
9065, 68, 67, 73, 89syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
9187, 88, 903eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
9264, 75, 913eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
9392oveq2d 5894 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)))))
941ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
9594, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
96 pcqcl 12309 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
9722, 94, 48, 96syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
9881, 82, 97expclzapd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9981, 82, 97expap0d 10663 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) # 0)
10095, 98, 99divcanap2d 8752 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)))) = ๐ด)
10193, 100eqtr2d 2211 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))))
102 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
103 simprrr 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
104103, 30eqnetrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0)
105 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
106105nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
107105nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค # 0)
108106, 107div0apd 8747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (0 / ๐‘ค) = 0)
109 oveq1 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = (0 / ๐‘ค))
110109eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) = 0 โ†” (0 / ๐‘ค) = 0))
111108, 110syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = 0))
112111necon3d 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0 โ†’ ๐‘ง โ‰  0))
113104, 112mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
114 pczcl 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
11522, 102, 113, 114syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
11624, 115nnexpcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
117116nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
118117, 106mulcomd 7982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค) = (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))))
119118oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
120102zcnd 9379 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
121116nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) # 0)
122117, 121jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) # 0))
123106, 107jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))
12422, 105pccld 12303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
12524, 124nnexpcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„•)
126125nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„‚)
127125nnap0d 8968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) # 0)
128126, 127jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) # 0))
129 divdivdivap 8673 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) # 0)) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) # 0))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค)))
130120, 122, 123, 128, 129syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค)))
131103oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))
132 pcdiv 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
13322, 102, 113, 105, 132syl121anc 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
134131, 133eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
135134oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
136124nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
137115nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
13881, 82, 136, 137expsubapd 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
139135, 138eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
140139oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต))) = (๐ต / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
141103oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ต / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง / ๐‘ค) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
142 divdivdivap 8673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0)) โˆง (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) # 0) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) # 0))) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
143120, 123, 122, 128, 142syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
144140, 141, 1433eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
145119, 130, 1443eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
146145oveq2d 5894 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
147 qcn 9637 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14829, 147syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14981, 82, 32expclzapd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
15081, 82, 32expap0d 10663 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) # 0)
151148, 149, 150divcanap2d 8752 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)))) = ๐ต)
152146, 151eqtr2d 2211 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))))
153 eluz 9544 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
15497, 32, 153syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
15543, 154mpbird 167 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
156 pczdvds 12316 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ)
15722, 25, 58, 156syl12anc 1236 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ)
15861nnzd 9377 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
15961nnne0d 8967 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โ‰  0)
160 dvdsval2 11800 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค))
161158, 159, 25, 160syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค))
162157, 161mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
163 pczndvds2 12320 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))))
16422, 25, 58, 163syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))))
165162, 164jca 306 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
166 pcdvds 12317 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ)
16722, 50, 166syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ)
16870nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
16970nnne0d 8967 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โ‰  0)
17050nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
171 dvdsval2 11800 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค))
172168, 169, 170, 171syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค))
173167, 172mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค)
17450nnred 8935 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
17570nnred 8935 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
17650nngt0d 8966 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
17770nngt0d 8966 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
178174, 175, 176, 177divgt0d 8895 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
179 elnnz 9266 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
180173, 178, 179sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„•)
181 pcndvds2 12321 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
18222, 50, 181syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
183180, 182jca 306 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
184 pczdvds 12316 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง)
18522, 102, 113, 184syl12anc 1236 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง)
186116nnzd 9377 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
187116nnne0d 8967 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โ‰  0)
188 dvdsval2 11800 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โ‰  0 โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค))
189186, 187, 102, 188syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค))
190185, 189mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค)
191 pczndvds2 12320 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))))
19222, 102, 113, 191syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))))
193190, 192jca 306 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
194 pcdvds 12317 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค)
19522, 105, 194syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค)
196125nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„ค)
197125nnne0d 8967 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โ‰  0)
198105nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
199 dvdsval2 11800 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โ‰  0 โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค))
200196, 197, 198, 199syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค))
201195, 200mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค)
202105nnred 8935 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
203125nnred 8935 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„)
204105nngt0d 8966 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < ๐‘ค)
205125nngt0d 8966 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
206202, 203, 204, 205divgt0d 8895 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
207 elnnz 9266 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
208201, 206, 207sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„•)
209 pcndvds2 12321 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
21022, 105, 209syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
211208, 210jca 306 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
21222, 101, 152, 155, 165, 183, 193, 211pcaddlem 12341 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
213212expr 375 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
214213rexlimdvva 2602 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
21521, 214biimtrrid 153 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
216215rexlimdvva 2602 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
21720, 216biimtrrid 153 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
218 0z 9267 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
219 zq 9629 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
220218, 219mp1i 10 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
221 qdceq 10250 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ DECID ๐ต = 0)
2224, 220, 221syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ DECID ๐ต = 0)
223 dcne 2358 . . . 4 (DECID ๐ต = 0 โ†” (๐ต = 0 โˆจ ๐ต โ‰  0))
224222, 223sylib 122 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต = 0 โˆจ ๐ต โ‰  0))
22519, 217, 224mpjaodan 798 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
2263, 6, 225mp2and 433 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  0cc0 7814   + caddc 7817   ยท cmul 7819  +โˆžcpnf 7992  โ„*cxr 7994   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   โˆ’ cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  โ„•0cn0 9179  โ„คcz 9256  โ„คโ‰ฅcuz 9531  โ„šcq 9622  โ†‘cexp 10522   โˆฅ cdvds 11797  โ„™cprime 12110   pCnt cpc 12287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-prm 12111  df-pc 12288
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator