Theorem 2sqlem5 15567

Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem5.3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
2sqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
2sqlem5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem5

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem5.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
2		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
3	2	2sqlem2 15563	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
5		2sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6	2	2sqlem2 15563	. . 3 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
7	5, 6	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
8		reeanv 2675	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
9		reeanv 2675	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
10		2sqlem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		2sqlem5.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 ∈ ℙ)
14		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑥 ∈ ℤ)
15		simprlr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑦 ∈ ℤ)
16		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑝 ∈ ℤ)
17		simprll 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑞 ∈ ℤ)
18		simprrr 540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
19		simprrl 539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
20	2, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	2sqlem4 15566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
21	20	expr 375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
22	21	rexlimdvva 2630	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
23	9, 22	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
24	23	rexlimdvva 2630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
25	8, 24	biimtrrid 153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
26	4, 7, 25	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484   ↦ cmpt 4104  ran crn 4675  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943   + caddc 7927   · cmul 7929  ℕcn 9035  2c2 9086  ℤcz 9371  ↑cexp 10681  abscabs 11279  ℙcprime 12400  ℤ[i]cgz 12663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-dvds 12070  df-gcd 12246  df-prm 12401  df-gz 12664

This theorem is referenced by:  2sqlem6  15568