Theorem 2sqlem5 15838

Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem5.3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
2sqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
2sqlem5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem5

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem5.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
2		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
3	2	2sqlem2 15834	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
5		2sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6	2	2sqlem2 15834	. . 3 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
7	5, 6	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
8		reeanv 2701	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
9		reeanv 2701	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
10		2sqlem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		2sqlem5.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 ∈ ℙ)
14		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑥 ∈ ℤ)
15		simprlr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑦 ∈ ℤ)
16		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑝 ∈ ℤ)
17		simprll 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑞 ∈ ℤ)
18		simprrr 540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
19		simprrl 539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
20	2, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	2sqlem4 15837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
21	20	expr 375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
22	21	rexlimdvva 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
23	9, 22	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
24	23	rexlimdvva 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
25	8, 24	biimtrrid 153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
26	4, 7, 25	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ↦ cmpt 4148  ran crn 4724  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   + caddc 8025   · cmul 8027  ℕcn 9133  2c2 9184  ℤcz 9469  ↑cexp 10790  abscabs 11548  ℙcprime 12669  ℤ[i]cgz 12932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-gz 12933

This theorem is referenced by:  2sqlem6  15839