Theorem 2sqlem5 16238

Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem5.3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
2sqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
2sqlem5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem5

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem5.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
2		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
3	2	2sqlem2 16234	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
5		2sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6	2	2sqlem2 16234	. . 3 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
7	5, 6	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
8		reeanv 2721	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
9		reeanv 2721	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
10		2sqlem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		2sqlem5.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13	12	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 ∈ ℙ)
14		simplrr 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑥 ∈ ℤ)
15		simprlr 544	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑦 ∈ ℤ)
16		simplrl 541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑝 ∈ ℤ)
17		simprll 543	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑞 ∈ ℤ)
18		simprrr 546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
19		simprrl 545	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
20	2, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	2sqlem4 16237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
21	20	expr 375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
22	21	rexlimdvva 2676	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
23	9, 22	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
24	23	rexlimdvva 2676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
25	8, 24	biimtrrid 153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
26	4, 7, 25	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ↦ cmpt 4192  ran crn 4775  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕcn 9304  2c2 9355  ℤcz 9644  ↑cexp 10975  abscabs 11763  ℙcprime 12885  ℤ[i]cgz 13148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-prm 12886  df-gz 13149

This theorem is used by:  2sqlem6  16239