ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divgcdcoprmex GIF version

Theorem divgcdcoprmex 12116
Description: Integers divided by gcd are coprime (see ProofWiki "Integers Divided by GCD are Coprime", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Integers_Divided_by_GCD_are_Coprime): Any pair of integers, not both zero, can be reduced to a pair of coprime ones by dividing them by their gcd. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprmex ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘   ๐ต,๐‘Ž,๐‘   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem divgcdcoprmex
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
21anim2i 342 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
3 zeqzmulgcd 11985 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
42, 3syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
543adant3 1018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
6 zeqzmulgcd 11985 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
76adantlr 477 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
87ancoms 268 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
983adant3 1018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
10 reeanv 2657 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))))
11 zcn 9272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1211adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
13 gcdcl 11981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
142, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
1514nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
16153adant3 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1812, 17mulcomd 7993 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘Ž))
19 simp3 1000 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต))
2019eqcomd 2193 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = ๐‘€)
2120oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘Ž) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
2221adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘Ž) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
2318, 22eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
2423ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
25 eqeq1 2194 . . . . . . . . . 10 (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
2625adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
2726adantl 277 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
2824, 27mpbird 167 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ ๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
29 simpr 110 . . . . . . . 8 ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
302ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค))
31 gcdcom 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐ต))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐ต))
33323adant3 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐ต))
3433oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)))
3534adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)))
36 zcn 9272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3736adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
38143adant3 1018 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
3938adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
4039nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4137, 40mulcomd 7993 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘))
4220adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = ๐‘€)
4342oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
4435, 41, 433eqtrd 2224 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
4544adantlr 477 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
4629, 45sylan9eqr 2242 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘))
47 zcn 9272 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
48473ad2ant1 1019 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4948ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5012adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
51 simp1 998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5213ad2ant2 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5351, 52gcdcld 11983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5453nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5554ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
56 gcdeq0 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
57 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
5856, 57biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†’ ๐ต = 0))
5958necon3d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0))
6059impr 379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
61603adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
6261ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
6338ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
6463nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
65 0zd 9279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
66 zapne 9341 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) # 0 โ†” (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0))
6764, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) # 0 โ†” (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0))
6862, 67mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) # 0)
6949, 50, 55, 68divmulap3d 8796 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โ†” ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต))))
7069bicomd 141 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž))
71 zcn 9272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant2 1020 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7473ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7536adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7674, 75, 55, 68divmulap3d 8796 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘ โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต))))
7723adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
78 gcdcom 11988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
8079ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
8180oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
8281eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))))
8376, 82bitr2d 189 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) โ†” (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘))
8470, 83anbi12d 473 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†” ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘)))
85 3anass 983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)))
8685biimpri 133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
87863adant3 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
88 divgcdcoprm0 12115 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
8987, 88syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
90 oveq12 5897 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = (๐‘Ž gcd ๐‘))
9190eqeq1d 2196 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1 โ†” (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9289, 91syl5ibcom 155 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9392ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9484, 93sylbid 150 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9594imp 124 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)
9628, 46, 953jca 1178 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9796ex 115 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
9897reximdva 2589 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
9998reximdva 2589 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
10010, 99biimtrrid 153 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
1015, 9, 100mp2and 433 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830   # cap 8552   / cdiv 8643  โ„•0cn0 9190  โ„คcz 9267   gcd cgcd 11957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958
This theorem is referenced by:  cncongr1  12117
  Copyright terms: Public domain W3C validator