Theorem xltadd1 9803

Description: Extended real version of ltadd1 8318. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xltadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xltadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpll3 1027	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltadd1 8318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
5		simp1 986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simp3 988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6	rexaddd 9781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
8		simp2 987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 6	rexaddd 9781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
10	7, 9	breq12d 3989	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
11	4, 10	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1227	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
13		ltpnf 9707	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
14	13	ad2antlr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < +∞)
15		breq2 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < +∞))
16	15	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < +∞))
17	14, 16	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
18		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpll3 1027	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
20		rexadd 9779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
21		readdcl 7870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	eqeltrd 2241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
23	18, 19, 22	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
24		ltpnf 9707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 𝐶) < +∞)
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) < +∞)
26		oveq1 5843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
27	26	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
28		rexr 7935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
29		renemnf 7938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
30		xaddpnf2 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
31	28, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
32	19, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
33	27, 32	eqtrd 2197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
34	25, 33	breqtrrd 4004	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
35	17, 34	2thd 174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
36		mnfle 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
37	36	3ad2ant1 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
38	37	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
39		mnfxr 7946	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
40		simpll1 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41		xrlenlt 7954	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
42	39, 40, 41	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
43	38, 42	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
44		breq2 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
45	44	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
46	43, 45	mtbird 663	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
47	28	3ad2ant3 1009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
48	47	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49		xaddcl 9787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
50	40, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
51		mnfle 9719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
52	50, 51	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
53		xrlenlt 7954	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞))
54	39, 50, 53	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞))
55	52, 54	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞)
56		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
57	56	oveq1d 5851	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
58		renepnf 7937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
59	58	3ad2ant3 1009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ +∞)
60	59	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐶 ≠ +∞)
61		xaddmnf2 9776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
62	48, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
63	57, 62	eqtrd 2197	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
64	63	breq2d 3988	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞))
65	55, 64	mtbird 663	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
66	46, 65	2falsed 692	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
67		elxr 9703	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
68	67	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
69	68	3ad2ant2 1008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
70	69	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
71	12, 35, 66, 70	mpjao3dan 1296	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
72		simpl2 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
73		pnfge 9716	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
74	72, 73	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
75		pnfxr 7942	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
76	75	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
77		xrlenlt 7954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
78	72, 76, 77	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
79	74, 78	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐵)
80		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
81	80	breq1d 3986	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
82	79, 81	mtbird 663	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
83	47	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
84		xaddcl 9787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
85	72, 83, 84	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
86		pnfge 9716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
87	85, 86	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
88	29	3ad2ant3 1009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ -∞)
89	88	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
90	83, 89, 30	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
91	87, 90	breqtrrd 4004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ (+∞ +𝑒 𝐶))
92		xaddcl 9787	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
93	75, 83, 92	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
94		xrlenlt 7954	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (+∞ +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ (+∞ +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
95	85, 93, 94	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ (+∞ +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
96	91, 95	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
97	80	oveq1d 5851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
98	97	breq1d 3986	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
99	96, 98	mtbird 663	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
100	82, 99	2falsed 692	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
101		simplr 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = -∞)
102		mnflt 9710	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
103	102	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
104	101, 103	eqbrtrd 3998	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
105	101	oveq1d 5851	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
106		simpll3 1027	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
107	106, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
108	106, 58	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ +∞)
109	107, 108, 61	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
110	105, 109	eqtrd 2197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
111		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
112		rexadd 9779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
113		readdcl 7870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrd 2241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
115	111, 106, 114	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
116		mnflt 9710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 +𝑒 𝐶))
117	115, 116	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < (𝐵 +𝑒 𝐶))
118	110, 117	eqbrtrd 3998	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
119	104, 118	2thd 174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
120		simplr 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = -∞)
121		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
122	120, 121	breq12d 3989	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < +∞))
123		oveq1 5843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
124	47, 59, 61	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
125	123, 124	sylan9eqr 2219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
126	125	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
127	26	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
128	47, 88, 30	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
129	128	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
130	127, 129	eqtrd 2197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
131	126, 130	breq12d 3989	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ -∞ < +∞))
132	122, 131	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
133		simplr 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
134		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
135	133, 134	breq12d 3989	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
136	124	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
137	123	eqeq1d 2173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞))
138	137	ad2antlr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞))
139	136, 138	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
140	134	oveq1d 5851	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
141	140, 136	eqtrd 2197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
142	139, 141	breq12d 3989	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ -∞ < -∞))
143	135, 142	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
144	69	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
145	119, 132, 143, 144	mpjao3dan 1296	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
146		elxr 9703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
147	146	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
148	147	3ad2ant1 1007	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
149	71, 100, 145, 148	mpjao3dan 1296	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 966   ∧ w3a 967   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  ℝcr 7743   + caddc 7747  +∞cpnf 7921  -∞cmnf 7922  ℝ^*cxr 7923   < clt 7924   ≤ cle 7925   +_𝑒 cxad 9697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-xadd 9700

This theorem is referenced by:  xltadd2  9804  xlt2add  9807  xrmaxaddlem  11187