Theorem xltadd1 9500

Description: Extended real version of ltadd1 8058. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xltadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xltadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 500	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpll3 990	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltadd1 8058	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
5		simp1 949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simp3 951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6	rexaddd 9478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
8		simp2 950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 6	rexaddd 9478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
10	7, 9	breq12d 3888	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
11	4, 10	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1184	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
13		ltpnf 9408	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
14	13	ad2antlr 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < +∞)
15		breq2 3879	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < +∞))
16	15	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < +∞))
17	14, 16	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
18		simplr 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpll3 990	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
20		rexadd 9476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
21		readdcl 7618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	eqeltrd 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
23	18, 19, 22	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
24		ltpnf 9408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 𝐶) < +∞)
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) < +∞)
26		oveq1 5713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
27	26	adantl 273	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
28		rexr 7683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
29		renemnf 7686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
30		xaddpnf2 9471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
31	28, 29, 30	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
32	19, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
33	27, 32	eqtrd 2132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
34	25, 33	breqtrrd 3901	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
35	17, 34	2thd 174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
36		mnfle 9419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
37	36	3ad2ant1 970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
38	37	ad2antrr 475	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
39		mnfxr 7694	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
40		simpll1 988	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41		xrlenlt 7701	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
42	39, 40, 41	sylancr 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
43	38, 42	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
44		breq2 3879	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
45	44	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
46	43, 45	mtbird 639	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
47	28	3ad2ant3 972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
48	47	ad2antrr 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49		xaddcl 9484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
50	40, 48, 49	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
51		mnfle 9419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
52	50, 51	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
53		xrlenlt 7701	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞))
54	39, 50, 53	sylancr 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞))
55	52, 54	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞)
56		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
57	56	oveq1d 5721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
58		renepnf 7685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
59	58	3ad2ant3 972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ +∞)
60	59	ad2antrr 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐶 ≠ +∞)
61		xaddmnf2 9473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
62	48, 60, 61	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
63	57, 62	eqtrd 2132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
64	63	breq2d 3887	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < -∞))
65	55, 64	mtbird 639	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
66	46, 65	2falsed 659	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
67		elxr 9404	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
68	67	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
69	68	3ad2ant2 971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
70	69	adantr 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
71	12, 35, 66, 70	mpjao3dan 1253	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
72		simpl2 953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
73		pnfge 9416	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
74	72, 73	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
75		pnfxr 7690	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
76	75	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
77		xrlenlt 7701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
78	72, 76, 77	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
79	74, 78	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐵)
80		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
81	80	breq1d 3885	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
82	79, 81	mtbird 639	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
83	47	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
84		xaddcl 9484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
85	72, 83, 84	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
86		pnfge 9416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
87	85, 86	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
88	29	3ad2ant3 972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ -∞)
89	88	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
90	83, 89, 30	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
91	87, 90	breqtrrd 3901	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ (+∞ +𝑒 𝐶))
92		xaddcl 9484	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
93	75, 83, 92	sylancr 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
94		xrlenlt 7701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (+∞ +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ (+∞ +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
95	85, 93, 94	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) ≤ (+∞ +𝑒 𝐶) ↔ ¬ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
96	91, 95	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
97	80	oveq1d 5721	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
98	97	breq1d 3885	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (+∞ +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
99	96, 98	mtbird 639	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
100	82, 99	2falsed 659	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
101		simplr 500	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = -∞)
102		mnflt 9410	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
103	102	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
104	101, 103	eqbrtrd 3895	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
105	101	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
106		simpll3 990	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
107	106, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
108	106, 58	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ +∞)
109	107, 108, 61	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
110	105, 109	eqtrd 2132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
111		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
112		rexadd 9476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
113		readdcl 7618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrd 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
115	111, 106, 114	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ)
116		mnflt 9410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 +𝑒 𝐶))
117	115, 116	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < (𝐵 +𝑒 𝐶))
118	110, 117	eqbrtrd 3895	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶))
119	104, 118	2thd 174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
120		simplr 500	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = -∞)
121		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
122	120, 121	breq12d 3888	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < +∞))
123		oveq1 5713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
124	47, 59, 61	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
125	123, 124	sylan9eqr 2154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
126	125	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
127	26	adantl 273	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
128	47, 88, 30	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
129	128	ad2antrr 475	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
130	127, 129	eqtrd 2132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
131	126, 130	breq12d 3888	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ -∞ < +∞))
132	122, 131	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
133		simplr 500	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
134		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
135	133, 134	breq12d 3888	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
136	124	ad2antrr 475	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
137	123	eqeq1d 2108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞))
138	137	ad2antlr 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞))
139	136, 138	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
140	134	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
141	140, 136	eqtrd 2132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
142	139, 141	breq12d 3888	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ -∞ < -∞))
143	135, 142	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
144	69	adantr 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
145	119, 132, 143, 144	mpjao3dan 1253	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
146		elxr 9404	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
147	146	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
148	147	3ad2ant1 970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
149	71, 100, 145, 148	mpjao3dan 1253	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 929   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ≠ wne 2267   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  ℝcr 7499   + caddc 7503  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670  ℝ^*cxr 7671   < clt 7672   ≤ cle 7673   +_𝑒 cxad 9398

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-xadd 9401

This theorem is referenced by:  xltadd2  9501  xlt2add  9504  xrmaxaddlem  10868