Theorem xleadd1a 10065

Description: Extended real version of leadd1 8573; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but (1 +_𝑒 +∞) ≤ (0 +_𝑒 +∞)). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 8702	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
6	1, 3	rexaddd 10046	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
7	2, 3	rexaddd 10046	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
8	5, 6, 7	3brtr4d 4114	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
9		simpl1 1024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpl3 1026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		xaddcl 10052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
14		pnfge 9981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
16		oveq1 6007	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
17		rexr 8188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		renemnf 8191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
19		xaddpnf2 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
21	20	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
22	16, 21	sylan9eqr 2284	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
23	15, 22	breqtrrd 4110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
24	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
25	24	xrleidd 9993	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
27		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
28	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29		mnfle 9984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
31	27, 30	eqbrtrd 4104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
32		simpl2 1025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
33		xrletri3 9996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
35	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
36	26, 31, 35	mpbir2and 950	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 6015	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
38	25, 37	breqtrd 4108	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
39	38	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
40		elxr 9968	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
41	32, 40	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
42	41	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
43	8, 23, 39, 42	mpjao3dan 1341	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
44	43	anassrs 400	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
45	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
46	45	xrleidd 9993	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
47		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
48		pnfge 9981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
49	32, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
51		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
52	50, 51	breqtrrd 4110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
53	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
54	47, 52, 53	mpbir2and 950	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
55	54	oveq1d 6015	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
56	46, 55	breqtrd 4108	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
57	56	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
58		oveq1 6007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
59		renepnf 8190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
60		xaddmnf2 10041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
61	17, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
62	61	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
63	58, 62	sylan9eqr 2284	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
64		xaddcl 10052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
65	32, 10, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
66	65	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
67		mnfle 9984	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
68	66, 67	syl 14	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
69	63, 68	eqbrtrd 4104	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
70		elxr 9968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
71	9, 70	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
72	71	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
73	44, 57, 69, 72	mpjao3dan 1341	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
74	38	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
75	12	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
76	75, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
77		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐶 = +∞)
78	77	oveq2d 6016	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
79	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
80		xaddpnf1 10038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
81	79, 80	sylan 283	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
82	78, 81	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
83	76, 82	breqtrrd 4110	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
84		xrmnfdc 10035	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → DECID 𝐵 = -∞)
85		exmiddc 841	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐵 = -∞ → (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
86	84, 85	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
87		df-ne 2401	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐵 = -∞)
88	87	orbi2i 767	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
89	86, 88	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞))
90	79, 89	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞))
91	74, 83, 90	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
92	56	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
93		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐶 = -∞)
94	93	oveq2d 6016	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 -∞))
95	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
96		xaddmnf1 10040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
97	95, 96	sylan 283	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
98	94, 97	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
99	65	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
100	99, 67	syl 14	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
101	98, 100	eqbrtrd 4104	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
102		xrpnfdc 10034	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = +∞)
103		exmiddc 841	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = +∞ → (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
104	102, 103	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
105		df-ne 2401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐴 = +∞)
106	105	orbi2i 767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
107	104, 106	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 ≠ +∞))
108	95, 107	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 ≠ +∞))
109	92, 101, 108	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
110		elxr 9968	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
111	10, 110	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
112	73, 91, 109, 111	mpjao3dan 1341	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994   + caddc 7998  +∞cpnf 8174  -∞cmnf 8175  ℝ^*cxr 8176   ≤ cle 8178   +_𝑒 cxad 9962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-xadd 9965

This theorem is referenced by:  xleadd2a  10066  xleadd1  10067  xaddge0  10070  xle2add  10071  xblss2ps  15072  xblss2  15073