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Theorem xnegdi 9492
Description: Extended real version of negdi 7890. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegdi ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
Proof of Theorem xnegdi
StepHypRef Expression
1 elxr 9404 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 9404 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 7625 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 7625 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 negdi 7890 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
63, 4, 5syl2an 285 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
7 readdcl 7618 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexneg 9454 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
97, 8syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
10 renegcl 7894 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
11 renegcl 7894 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
12 rexadd 9476 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
1310, 11, 12syl2an 285 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
146, 9, 133eqtr4d 2142 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
15 rexadd 9476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16 xnegeq 9451 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
1715, 16syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
18 rexneg 9454 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
19 rexneg 9454 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2018, 19oveqan12d 5725 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
2114, 17, 203eqtr4d 2142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
22 xnegpnf 9452 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
23 oveq2 5714 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
24 rexr 7683 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 renemnf 7686 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
26 xaddpnf1 9470 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2724, 25, 26syl2anc 406 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2823, 27sylan9eqr 2154 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
29 xnegeq 9451 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
3028, 29syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
31 xnegeq 9451 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
3231, 22syl6eq 2148 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
3332oveq2d 5722 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞))
3418, 10eqeltrd 2176 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
35 rexr 7683 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
36 renepnf 7685 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ +∞)
37 xaddmnf1 9472 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3835, 36, 37syl2anc 406 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3934, 38syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4033, 39sylan9eqr 2154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
4122, 30, 403eqtr4a 2158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
42 xnegmnf 9453 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
43 oveq2 5714 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
44 renepnf 7685 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
45 xaddmnf1 9472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4624, 44, 45syl2anc 406 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4743, 46sylan9eqr 2154 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
48 xnegeq 9451 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
4947, 48syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
50 xnegeq 9451 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
5150, 42syl6eq 2148 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
5251oveq2d 5722 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞))
53 renemnf 7686 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
54 xaddpnf1 9470 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5535, 53, 54syl2anc 406 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5634, 55syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5752, 56sylan9eqr 2154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
5842, 49, 573eqtr4a 2158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
5921, 41, 583jaodan 1252 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
602, 59sylan2b 283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
61 xneg0 9455 . . . . . . 7 -𝑒0 = 0
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
6362oveq2d 5722 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
64 pnfaddmnf 9474 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
6563, 64syl6eq 2148 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
66 xnegeq 9451 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6765, 66syl 14 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6851adantl 273 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6968oveq2d 5722 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
70 mnfaddpnf 9475 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
7169, 70syl6eq 2148 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7261, 67, 713eqtr4a 2158 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
73 xaddpnf2 9471 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
74 xnegeq 9451 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
7573, 74syl 14 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
76 xnegcl 9456 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
77 xnegeq 9451 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
7877, 22syl6eq 2148 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -∞)
79 xnegneg 9457 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
8079eqeq1d 2108 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = -∞ ↔ 𝐵 = -∞))
8178, 80syl5ib 153 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = +∞ → 𝐵 = -∞))
8281necon3d 2311 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ -∞ → -𝑒𝐵 ≠ +∞))
8382imp 123 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -𝑒𝐵 ≠ +∞)
84 xaddmnf2 9473 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8576, 83, 84syl2an2r 565 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8622, 75, 853eqtr4a 2158 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
87 xrmnfdc 9467 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → DECID 𝐵 = -∞)
88 exmiddc 788 . . . . . . . 8 (DECID 𝐵 = -∞ → (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
8987, 88syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
90 df-ne 2268 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐵 = -∞)
9190orbi2i 720 . . . . . . 7 ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
9289, 91sylibr 133 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞))
9372, 86, 92mpjaodan 753 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
9493adantl 273 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
95 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
9695oveq1d 5721 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
97 xnegeq 9451 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
9896, 97syl 14 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
99 xnegeq 9451 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
10099adantr 272 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
101100, 22syl6eq 2148 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -∞)
102101oveq1d 5721 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
10394, 98, 1023eqtr4d 2142 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
104 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
105104oveq2d 5722 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
106105, 70syl6eq 2148 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
107 xnegeq 9451 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
108106, 107syl 14 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
10932adantl 273 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
110109oveq2d 5722 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
111110, 64syl6eq 2148 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
11261, 108, 1113eqtr4a 2158 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
113 xaddmnf2 9473 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
114 xnegeq 9451 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
115113, 114syl 14 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
116 xnegeq 9451 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
117116, 42syl6eq 2148 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = +∞)
11879eqeq1d 2108 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
119117, 118syl5ib 153 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = -∞ → 𝐵 = +∞))
120119necon3d 2311 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ +∞ → -𝑒𝐵 ≠ -∞))
121120imp 123 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
122 xaddpnf2 9471 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
12376, 121, 122syl2an2r 565 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
12442, 115, 1233eqtr4a 2158 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
125 xrpnfdc 9466 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → DECID 𝐵 = +∞)
126 exmiddc 788 . . . . . . . 8 (DECID 𝐵 = +∞ → (𝐵 = +∞ ∨ ¬ 𝐵 = +∞))
127125, 126syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ∨ ¬ 𝐵 = +∞))
128 df-ne 2268 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐵 = +∞)
129128orbi2i 720 . . . . . . 7 ((𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 = +∞ ∨ ¬ 𝐵 = +∞))
130127, 129sylibr 133 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ≠ +∞))
131112, 124, 130mpjaodan 753 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
132131adantl 273 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
133 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
134133oveq1d 5721 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
135 xnegeq 9451 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
136134, 135syl 14 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
137 xnegeq 9451 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
138137adantr 272 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
139138, 42syl6eq 2148 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = +∞)
140139oveq1d 5721 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
141132, 136, 1403eqtr4d 2142 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
14260, 103, 1413jaoian 1251 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
1431, 142sylanb 280 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 670  DECID wdc 786   ∨ w3o 929   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ≠ wne 2267  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  ℝcr 7499  0cc0 7500   + caddc 7503  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670  ℝ*cxr 7671  -cneg 7805  -𝑒cxne 9397   +𝑒 cxad 9398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-sub 7806  df-neg 7807  df-xneg 9400  df-xadd 9401
This theorem is referenced by:  xaddass2  9494  xrminadd  10883
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