Theorem rexneg 10022

Description: Minus a real number. Remark [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)

Proof of Theorem rexneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 9964	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		renepnf 8190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
3		ifnefalse 3613	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
5		renemnf 8191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
6		ifnefalse 3613	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) = -𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) = -𝐴)
8	4, 7	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = -𝐴)
9	1, 8	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ifcif 3602  ℝcr 7994  +∞cpnf 8174  -∞cmnf 8175  -cneg 8314  -_𝑒cxne 9961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xneg 9964

This theorem is referenced by:  xneg0  10023  xnegcl  10024  xnegneg  10025  xltnegi  10027  rexsub  10045  xnegid  10051  xnegdi  10060  xpncan  10063  xnpcan  10064  xposdif  10074  xrmaxaddlem  11766  xrminrecl  11779  xrminrpcl  11780