ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpncan GIF version

Theorem xpncan 9684
Description: Extended real version of pncan 7992. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpncan ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan
StepHypRef Expression
1 rexneg 9643 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
21adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
32oveq2d 5798 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵))
4 renegcl 8047 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6 rexr 7835 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7 renepnf 7837 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8 xaddmnf2 9662 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
96, 7, 8syl2anc 409 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
105, 9syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
11 oveq1 5789 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
12 rexr 7835 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 renepnf 7837 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14 xaddmnf2 9662 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1512, 13, 14syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1615adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1711, 16sylan9eqr 2195 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
1817oveq1d 5797 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝐵))
19 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
2010, 18, 193eqtr4d 2183 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
21 simpll 519 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2312ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 renemnf 7838 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2524ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
264ad2antlr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
2726, 6syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28 renemnf 7838 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
2926, 28syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30 xaddass 9682 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
3121, 22, 23, 25, 27, 29, 30syl222anc 1233 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
32 simplr 520 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 26rexaddd 9667 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
3432recnd 7818 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534negidd 8087 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
3633, 35eqtrd 2173 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = 0)
3736oveq2d 5798 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
38 xaddid1 9675 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3938ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4037, 39eqtrd 2173 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = 𝐴)
4131, 40eqtrd 2173 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
42 xrmnfdc 9656 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)
43 exmiddc 822 . . . . . 6 (DECID 𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
4442, 43syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
45 df-ne 2310 . . . . . 6 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
4645orbi2i 752 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
4744, 46sylibr 133 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞))
4847adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞))
4920, 41, 48mpjaodan 788 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
503, 49eqtrd 2173 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  (class class class)co 5782  cr 7643  0cc0 7644   + caddc 7647  +∞cpnf 7821  -∞cmnf 7822  *cxr 7823  -cneg 7958  -𝑒cxne 9586   +𝑒 cxad 9587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-sub 7959  df-neg 7960  df-xneg 9589  df-xadd 9590
This theorem is referenced by:  xnpcan  9685  xleadd1  9688  xrmaxaddlem  11061
  Copyright terms: Public domain W3C validator