Theorem xpncan 9940

Description: Extended real version of pncan 8227. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9899	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
3	2	oveq2d 5935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵))
4		renegcl 8282	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6		rexr 8067	. . . . . 6 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7		renepnf 8069	. . . . . 6 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8		xaddmnf2 9918	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
11		oveq1 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
12		rexr 8067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		renepnf 8069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14		xaddmnf2 9918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
17	11, 16	sylan9eqr 2248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
18	17	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝐵))
19		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
20	10, 18, 19	3eqtr4d 2236	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
21		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
23	12	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		renemnf 8070	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
25	24	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
26	4	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
27	26, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28		renemnf 8070	. . . . . 6 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
29	26, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30		xaddass 9938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
31	21, 22, 23, 25, 27, 29, 30	syl222anc 1265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
32		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 26	rexaddd 9923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
34	32	recnd 8050	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	negidd 8322	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
36	33, 35	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
38		xaddid1 9931	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = 𝐴)
41	31, 40	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
42		xrmnfdc 9912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)
43		exmiddc 837	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
45		df-ne 2365	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
46	45	orbi2i 763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
47	44, 46	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞))
48	47	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞))
49	20, 41, 48	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
50	3, 49	eqtrd 2226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   + caddc 7877  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055  -cneg 8193  -_𝑒cxne 9838   +_𝑒 cxad 9839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-sub 8194  df-neg 8195  df-xneg 9841  df-xadd 9842

This theorem is referenced by:  xnpcan  9941  xleadd1  9944  xrmaxaddlem  11406