Theorem xpncan 9865

Description: Extended real version of pncan 8157. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9824	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
3	2	oveq2d 5886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵))
4		renegcl 8212	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6		rexr 7997	. . . . . 6 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7		renepnf 7999	. . . . . 6 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8		xaddmnf2 9843	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
11		oveq1 5877	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
12		rexr 7997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		renepnf 7999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14		xaddmnf2 9843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
17	11, 16	sylan9eqr 2232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
18	17	oveq1d 5885	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝐵))
19		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
20	10, 18, 19	3eqtr4d 2220	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
21		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
23	12	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		renemnf 8000	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
25	24	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
26	4	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
27	26, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28		renemnf 8000	. . . . . 6 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
29	26, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30		xaddass 9863	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
31	21, 22, 23, 25, 27, 29, 30	syl222anc 1254	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
32		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 26	rexaddd 9848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
34	32	recnd 7980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	negidd 8252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
36	33, 35	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 5886	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
38		xaddid1 9856	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = 𝐴)
41	31, 40	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
42		xrmnfdc 9837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)
43		exmiddc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
45		df-ne 2348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
46	45	orbi2i 762	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
47	44, 46	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞))
48	47	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ∨ 𝐴 ≠ -∞))
49	20, 41, 48	mpjaodan 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
50	3, 49	eqtrd 2210	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  (class class class)co 5870  ℝcr 7805  0cc0 7806   + caddc 7809  +∞cpnf 7983  -∞cmnf 7984  ℝ^*cxr 7985  -cneg 8123  -_𝑒cxne 9763   +_𝑒 cxad 9764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-cnre 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-sub 8124  df-neg 8125  df-xneg 9766  df-xadd 9767

This theorem is referenced by:  xnpcan  9866  xleadd1  9869  xrmaxaddlem  11259