ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrpnfdc GIF version

Theorem xrpnfdc 9654
Description: An extended real is or is not plus infinity. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrpnfdc (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrpnfdc
StepHypRef Expression
1 elxr 9592 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 renepnf 7836 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
32neneqd 2330 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = +∞)
43olcd 724 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
5 df-dc 821 . . . 4 (DECID 𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
64, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → DECID 𝐴 = +∞)
7 orc 702 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
87, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 = +∞ → DECID 𝐴 = +∞)
9 mnfnepnf 7844 . . . . . . 7 -∞ ≠ +∞
109neii 2311 . . . . . 6 ¬ -∞ = +∞
11 eqeq1 2147 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = +∞ ↔ -∞ = +∞))
1210, 11mtbiri 665 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 = +∞)
1312olcd 724 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = +∞ ∨ ¬ 𝐴 = +∞))
1413, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 = -∞ → DECID 𝐴 = +∞)
156, 8, 143jaoi 1282 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → DECID 𝐴 = +∞)
161, 15sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 698  DECID wdc 820  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  cr 7642  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-un 4362  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827
This theorem is referenced by:  xaddf  9656  xaddval  9657  xaddpnf1  9658  xaddcom  9673  xnegdi  9680  xleadd1a  9685  xlesubadd  9695  xrmaxiflemcl  11045  xrmaxifle  11046  xrmaxiflemab  11047  xrmaxiflemlub  11048  xrmaxiflemcom  11049  xrmaxadd  11061  xblss2ps  12610  xblss2  12611
  Copyright terms: Public domain W3C validator